《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

1. 如图,在五边形 ABCDE 中,AB= AE,BC= ED,∠B= ∠E,AF⊥CD 于点 F. 求证：
(1)CF= FD；
(2)AF 平分∠BAE.

答案： 1.
(1)连接AC,AD.
∵AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD.
　又AF⊥CD,
∴CF=FD.
(2)
∵△ABC≌△AED,
∴∠BAC=∠EAD.
∵AC=AD,AF⊥CD,
∴∠CAF=∠DAF,
∴∠BAC+∠CAF=∠EAD+∠DAF,
∴∠BAF=∠EAF,
∴AF平分∠BAE.

2. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,D 为线段 CE 的中点,BE= AC.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC= 75°,求∠B 的度数.

答案： 2.
(1)连接AE.
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D是EC的中点,
∴AD⊥BC.
(2)设∠B=x°.
∵AE=BE,
∴∠BAE=∠B=x°.由三角形外角的性质,得∠AEC=2x°.
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=2x°.
　在△ABC中,3x°+75°=180°,解得x=35°,
∴∠B=35°.

3. 如图,在四边形 ABCD 中,连接 AC,BD,∠ABD= ∠ACD= 60°,∠ADB= 90°-1/2∠BDC. 求证：△ABC 是等腰三角形.

答案：
3.如图,延长CD到点E,使DE=DB,连接AE.
∵∠ADB=90°−$\frac{1}{2}$∠BDC,
∴2∠ADB=180°−∠BDC=∠BDE,
∴∠1=∠2.
　又DE=DB,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠ABD=∠E=60°,AB=AE.
∵∠ACD=60°,
∴∠CAE=60°=∠ACE=∠E,
∴△ACE是等边三角形,
∴AC=AE,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
　　　　　　　　　　　　　　

4. 如图,∠BAD= 120°,BD= DC,AB+AD= AC. 求证：AC 平分∠BAD.

答案：
4.如图,延长BA到点E,使AE=AD,连接DE.
∵AB+AD=AC,
∴BE=AB+AE=AB+AD=AC.
∵∠BAD=120°,
∴∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴DE=AD,∠E=60°.
　又BD=DC,
∴△BDE≌△CDA(SSS),
∴∠CAD=∠E=60°,
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°=∠CAD,
∴AC平分∠BAD.