《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版苏州专版》

1. 教材 P90 尝试 T1·变式 如图,在四边形 ABCD 中,$∠ABC= ∠ADC= 90^{\circ }$,分别以四边为边长向外作正方形甲、乙、丙、丁,如果用$S_{甲},$$S_{乙},S_{丙},S_{丁}$来表示它们的面积,那么下列结论正确的是(C).

A.$S_{甲}= S_{丁}$
B.$S_{乙}= S_{丙}$
C.$S_{甲}+S_{乙}= S_{丙}+S_{丁}$
D.$S_{甲}-S_{乙}= S_{丙}-S_{丁}$
]

答案： C　[解析]连接AC.由勾股定理，得AB²+BC²=AC²，AD²+CD²=AC²，
∴S甲+S乙=S丙+S丁.故选C.
归纳总结　本题考查了勾股定理的知识，关键是能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系。

2.(2024·淮安涟水期中)如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= $$90^{\circ }$,点 D 是 BC 上的一点,且$BD= 2,DC= 3,则AB^{2}-AD^{2}$的值为(C).
A.4
B.9
C.16
D.25

答案： C　[解析]在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理，得AB²=AC²+BC²，AD²=AC²+CD²，
∴AB²−AD²=BC²−CD²=(BD+CD)²−CD²=5²−3²=16.故选C。

3.(2024·广东佛山顺德区期末)如图,BD 是$Rt\triangle ABC$斜边 AC 上的中线.$AB= 6,BC= 8$,点 P 是 BC 上一个动点,过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线,垂足为 E,F,则$PE+PF$的值是
]

答案：
4.8　[解析]如图，连接DP.
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC²=AB²+BC²=6²+8²=100，
∴AC=10.
∵BD是斜边AC上的中线，
∴BD=CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴△BDC的面积=△ABD的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×8=12.
∵PE⊥CD，PF⊥BD，且△BDP的面积+△CDP的面积=△BDC的面积，
∴$\frac{1}{2}$BD·PF+$\frac{1}{2}$CD·PE=12，
∴5PF+5PE=24，
∴PF+PE=4.8.
思路引导　连接DP，在Rt△ABC中，利用勾股定理，可求出AC=10，然后利用直角三角形斜边上的中线性质，可得BD=CD=AD=5，从而可得△BDC的面积=△ABD的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=12，最后根据△BDP的面积+△CDP的面积=△BDC的面积，进行计算即可解答。
　　　　　　　　　　　　　　　

4. 教材 P89 练习 T2·变式 (2025·无锡期末)如图,以$Rt\triangle ACB$的两边 AB,BC 为边向外作正方形的面积分别是$26cm^{2},10cm^{2}$,则以另一边AC 为直径向外作半圆的面积为___2π$cm^{2}.$

答案： 2π　[解析]
∵以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外作正方形的面积分别是26cm²，10cm²，AC²=AB²−BC²，
∴AC²=26−10=16，
∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为$\frac{1}{2}$π×($\frac{AC}{2}$)²=$\frac{1}{2}$π×$\frac{16}{4}$=2π(cm²)。

5.(2025·淮安期中)如图,在长方形 ABCD 中,$AB= 8,AD= 10$,E 是 AB 边上一点,将$\triangle BCE$沿直线 CE 折叠,点 B 的对应点 F 恰好落在边 AD 上,求 AE 的长.
]

答案：
∵四边形ABCD是长方形，将△BCE沿直线CE折叠，
点B的对应点F恰好落在边AD上，
∴AB=CD=8，BC=AD=FC=10，
∴DF=$\sqrt{10²−8²}$=6，
∴AF=10−6=4.
设AE=x，则BE=FE=8−x，
在Rt△AEF中，
∵AE²+AF²=EF²，
∴x²+4²=(8−x)²，解得x=3，
∴AE=3。

6. 传统文化 《数书九章》 (2023·南京中考)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里. 里法三百步,欲知为田几何？”问题大意：如图,在$\triangle ABC$中,$AB= $13 里,$BC= 14$里,$AC= 15$里,则$\triangle ABC$的面积是( ).

A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
]

答案：
C　[解析]如图，过点A作AD⊥BC于点D.
设BD=x里，则CD=(14−x)里。
在Rt△ABD中，AD²=13²−x²，
在Rt△ADC中，AD²=15²−(14−x)²，
∴13²−x²=15²−(14−x)²，解得x=5.
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{13²−5²}$=12(里)，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×14×12=84(平方里)。故选C；
归纳总结　本题考查了三角形的面积、勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用了勾股定理。
　　　　　　　　　　　　　　　

7.(苏州自主招生)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式. 后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的长方形由两个这样的图形拼成,若$a= 3,b= 4$,则该长方形的面积为(B).

A.20
B.24
C.$\frac {99}{4}$
D.$\frac {53}{2}$

答案： B　[解析]设小正方形的边长为x，
∵a=3，b=4，
∴AB=3+4=7.
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即(3+x)²+(x+4)²=7²，
整理，得x²+7x−12=0，
而长方形面积为(x+3)(x+4)=x²+7x+12=12+12=24，
∴该长方形的面积为24.故选B
思路引导　欲求长方形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积。