《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学人教版》

13. 先阅读下面的解答过程,然后作答:
有这样一类题目:将$\sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}$化简,若你能找到两个数m和n,使$m^{2}+n^{2}= a且mn= \sqrt {b}$,则$a\pm 2\sqrt {b}可变为m^{2}+n^{2}\pm 2mn$,即变成$(m\pm n)^{2}$开方,从而使$\sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}$可以化简.
例如：$5\pm 2\sqrt {6}= 3+2\pm 2\sqrt {6}= (\sqrt {3})^{2}+(\sqrt {2})^{2}\pm 2\sqrt {2}\cdot \sqrt {3}= (\sqrt {3}\pm \sqrt {2})^{2},$
$\therefore \sqrt {5\pm 2\sqrt {6}}= \sqrt {(\sqrt {3}\pm \sqrt {2})^{2}}= \sqrt {3}\pm \sqrt {2}.$
请仿照上例解下列问题:
(1)$\sqrt {5-2\sqrt {6}}=$$\sqrt {3}-\sqrt {2}$;
(2)$\sqrt {4+2\sqrt {3}}=$$1+\sqrt {3}$.

答案： （1）原式 $= \sqrt { ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 }$。
（2）原式 $= \sqrt { ( 1 + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } = 1 + \sqrt { 3 }$。

1. 下列计算正确的是 (B)
A.$ 2 \sqrt { 3 } + 3 \sqrt { 2 } = 5 $
B.$ \sqrt { 8 } ÷ \sqrt { 2 } = 2 $
C.$ 5 \sqrt { 3 } × 5 \sqrt { 2 } = 5 \sqrt { 6 } $
D.$ \sqrt { 4 \frac { 1 } { 2 } } = 2 \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } $

答案： 1. B

2. 若使算式 $ 3 \sqrt { 2 } ◯ \sqrt { 8 } $ 的运算结果最小,则○表示的运算符号是 (B)
A.+
B.-
C.×
D.÷

答案： 2. B

3. 计算 $ \sqrt { 5 + 2 \sqrt { 6 } } \cdot \sqrt { 5 - 2 \sqrt { 6 } } $ 的结果为 (D)
A.$ \sqrt { 17 } $
B.$ \sqrt { 13 } $
C.13
D.1

答案： 3. D

4. 如果 $ 5 + \sqrt { 7 } $,$ 5 - \sqrt { 7 } $ 的小数部分分别为 $ a $,$ b $,那么 $ a + b $ 的值为 (A)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 4. A

5. 已知一个直角三角形的周长是 $ 4 + \sqrt { 26 } $,斜边上的中线长是 2,则这个三角形的面积是 (B)
A.5
B.$ \frac { 5 } { 2 } $
C.$ \frac { 5 } { 4 } $
D.1

答案： 5. B 提示：设两直角边长分别为 $ a $，$ b $，斜边长为 $ c $。
∵ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴ 斜边 $ c = 2 × 2 = 4 $。
∵ 直角三角形的周长是 $ 4 + \sqrt{26} $，
∴ $ a + b + c = 4 + \sqrt{26} $，
∴ $ \begin{cases} a + b + c = 4 + \sqrt{26} \\ a^2 + b^2 = 4^2 \end{cases} $，
∴ $ \begin{cases} a + b = \sqrt{26} \\ a^2 + b^2 = 16 \end{cases} $，
∴ $ ab = \frac{1}{2}[(a + b)^2 - (a^2 + b^2)] = \frac{1}{2} × (26 - 16) = 5 $，故 $ S_{\text{三角形}} = \frac{1}{2}ab = \frac{5}{2} $。