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二次根式的化简与运算
学习目标：
1. 了解最简二次根式的概念，能把二次根式化为最简二次根式；
2. 理解二次根式的性质，并能运用性质进行二次根式的化简；
3. 掌握二次根式的乘除运算法则，并能进行简单的运算.
知识点回顾：
1. 最简二次根式的概念：我们把满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数中不含分母）；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2. 二次根式的性质：
（1）$(\sqrt{a})^2=$
（2）$\sqrt{a^2}=$
3. 二次根式的乘除法则：
（1）乘法法则：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=$
（2）除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=$
例题精讲：
例1 下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
（1）$\sqrt{12}$；（2）$\sqrt{\frac{1}{2}}$；（3）$\sqrt{5a}$（$a$为正数）；（4）$\sqrt{x^2+1}$.
解：（1）不是最简二次根式，因为被开方数12中含有能开得尽方的因数4；
（2）不是最简二次根式，因为被开方数中含分母；
（3）是最简二次根式，因为它满足最简二次根式的两个条件；
（4）是最简二次根式，因为它满足最简二次根式的两个条件.
例2 化简下列二次根式：
（1）$\sqrt{18}$；（2）$\sqrt{\frac{3}{2}}$；（3）$\sqrt{(-4)^2}$.
解：（1）$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$.
练习题：
1. 填空题：
（1）化简：$\sqrt{27}=$______；
（2）若$\sqrt{(x-2)^2}=2-x$，则$x$的取值范围是______.
2. 选择题：
（1）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. $\sqrt{8}$ B. $\sqrt{12}$ C. $\sqrt{15}$ D. $\sqrt{20}$
（2）计算$\sqrt{2}×\sqrt{8}$的结果是（ ）
A. $2\sqrt{2}$ B. $4$ C. $8$ D. $16$
学习目标：
1. 了解最简二次根式的概念，能把二次根式化为最简二次根式；
2. 理解二次根式的性质，并能运用性质进行二次根式的化简；
3. 掌握二次根式的乘除运算法则，并能进行简单的运算.
知识点回顾：
1. 最简二次根式的概念：我们把满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数中不含分母）；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2. 二次根式的性质：
（1）$(\sqrt{a})^2=$
$a$
（$a\geq0$）；（2）$\sqrt{a^2}=$
$a$，$0$，$-a$
（当$a>0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a=0$时，$\sqrt{a^2}=0$；当$a<0$时，$\sqrt{a^2}=-a$）.3. 二次根式的乘除法则：
（1）乘法法则：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=$
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$
（$a\geq0$，$b\geq0$）；（2）除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
（$a\geq0$，$b>0$）.例题精讲：
例1 下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
（1）$\sqrt{12}$；（2）$\sqrt{\frac{1}{2}}$；（3）$\sqrt{5a}$（$a$为正数）；（4）$\sqrt{x^2+1}$.
解：（1）不是最简二次根式，因为被开方数12中含有能开得尽方的因数4；
（2）不是最简二次根式，因为被开方数中含分母；
（3）是最简二次根式，因为它满足最简二次根式的两个条件；
（4）是最简二次根式，因为它满足最简二次根式的两个条件.
例2 化简下列二次根式：
（1）$\sqrt{18}$；（2）$\sqrt{\frac{3}{2}}$；（3）$\sqrt{(-4)^2}$.
解：（1）$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$.
练习题：
1. 填空题：
（1）化简：$\sqrt{27}=$______；
（2）若$\sqrt{(x-2)^2}=2-x$，则$x$的取值范围是______.
2. 选择题：
（1）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. $\sqrt{8}$ B. $\sqrt{12}$ C. $\sqrt{15}$ D. $\sqrt{20}$
（2）计算$\sqrt{2}×\sqrt{8}$的结果是（ ）
A. $2\sqrt{2}$ B. $4$ C. $8$ D. $16$
答案：
（1）不含分母；
（2）不含能开得尽方的因数或因式；
（3）不含根号；
$a$；
$a$，$0$，$-a$；
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$；
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
（2）不含能开得尽方的因数或因式；
（3）不含根号；
$a$；
$a$，$0$，$-a$；
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$；
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
1. 若$\sqrt {\frac {x}{y}}$是二次根式,则x,y应满足的条件是(
A.$x≥0且y≥0$
B.$\frac {x}{y}＞0$
C.$x≥0且y＞0$
D.$\frac {x}{y}≥0$
D
)A.$x≥0且y≥0$
B.$\frac {x}{y}＞0$
C.$x≥0且y＞0$
D.$\frac {x}{y}≥0$
答案：
1. D
2. 若$\frac {1}{\sqrt {x-3}}$在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是
$ x ＞ 3 $
.
答案：
2. $ x ＞ 3 $
3. 若整数x满足$|x|≤3$,则使$\sqrt {7-x}$为整数的x的值是
-2 或 3
.
答案：
3. -2 或 3
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