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13. $ \sqrt { a } $ 的双重非负性是指被开方数 $ a \geq 0 $,其化简的结果 $ \sqrt { a } \geq 0 $. 请利用 $ \sqrt { a } $ 的双重非负性解决以下问题：
(1) 已知 $ \sqrt { a + 6 } + \sqrt { b ^ { 2 } - 2 b - 3 } = 0 $,求 $ b ^ { 2 } - 2 b + 2 a $ 的值；
(2) 若 $ a $,$ b $ 为实数,且 $ a ^ { 2 } = \sqrt { b - 1 } + \sqrt { 1 - b } + 4 $,求 $ a + b $ 的值；
(3) 已知实数 $ a $,$ b $ 满足 $ | 2 a - 4 | + | b + 2 | + \sqrt { ( a - 3 ) b ^ { 2 } } + 4 = 2 a $,求 $ a + b $ 的值.
(1) 已知 $ \sqrt { a + 6 } + \sqrt { b ^ { 2 } - 2 b - 3 } = 0 $,求 $ b ^ { 2 } - 2 b + 2 a $ 的值；
-9
(2) 若 $ a $,$ b $ 为实数,且 $ a ^ { 2 } = \sqrt { b - 1 } + \sqrt { 1 - b } + 4 $,求 $ a + b $ 的值；
3或-1
(3) 已知实数 $ a $,$ b $ 满足 $ | 2 a - 4 | + | b + 2 | + \sqrt { ( a - 3 ) b ^ { 2 } } + 4 = 2 a $,求 $ a + b $ 的值.
1
答案：
13.（1）由题意，得 $ a + 6 = 0 $，$ b^2 - 2b - 3 = 0 $，解得 $ a = -6 $，$ b^2 - 2b = 3 $，
∴ $ b^2 - 2b + 2a = 3 + (-12) = -9 $。（2）由题意，得 $ b - 1 \geq 0 $，$ 1 - b \geq 0 $，解得 $ b = 1 $，
∴ $ a^2 = 4 $，解得 $ a = \pm 2 $，
∴ $ a + b = 3 $ 或 $ a + b = -1 $。（3）
∵ $ |2a - 4| + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} + 4 = 2a $，
∴ $ (a - 3)b^2 \geq 0 $，解得 $ a \geq 3 $，原式变形为 $ 2a - 4 + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} = 2a - 4 $，
∴ $ |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} = 0 $，则 $ b + 2 = 0 $，$ a - 3 = 0 $，解得 $ b = -2 $，$ a = 3 $，则 $ a + b = 1 $。
∴ $ b^2 - 2b + 2a = 3 + (-12) = -9 $。（2）由题意，得 $ b - 1 \geq 0 $，$ 1 - b \geq 0 $，解得 $ b = 1 $，
∴ $ a^2 = 4 $，解得 $ a = \pm 2 $，
∴ $ a + b = 3 $ 或 $ a + b = -1 $。（3）
∵ $ |2a - 4| + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} + 4 = 2a $，
∴ $ (a - 3)b^2 \geq 0 $，解得 $ a \geq 3 $，原式变形为 $ 2a - 4 + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} = 2a - 4 $，
∴ $ |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} = 0 $，则 $ b + 2 = 0 $，$ a - 3 = 0 $，解得 $ b = -2 $，$ a = 3 $，则 $ a + b = 1 $。
蚂蚁和大象一样重
相信你见过蚂蚁和大象,它们的体形相差巨大,但是它们的体重“一样”,你相信吗？
我知道你当然不相信,那么让我们利用数学来推导一下.
假设蚂蚁的体重为 $ x $ 克,大象的体重为 $ y $ 克,它们两个的体重和为 $ 2 a $ 克,即 $ x + y = 2 a $.
两边同时乘 $ ( x - y ) $,
得 $ ( x + y ) ( x - y ) = 2 a ( x - y ) $,
即 $ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 2 a x - 2 a y $,
可以变形为 $ x ^ { 2 } - 2 a x = y ^ { 2 } - 2 a y $.
两边同时加上 $ a ^ { 2 } $,得 $ x ^ { 2 } - 2 a x + a ^ { 2 } = y ^ { 2 } - 2 a y + a ^ { 2 } $,
即 $ ( x - a ) ^ { 2 } = ( y - a ) ^ { 2 } $.
于是 $ \sqrt { ( x - a ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( y - a ) ^ { 2 } } $,
得 $ x - a = y - a $,
所以 $ x = y $,
所以大象和蚂蚁的体重相同.
这个答案实在是太荒唐了,那么问题出在哪里呢？请同学们想一想.
相信你见过蚂蚁和大象,它们的体形相差巨大,但是它们的体重“一样”,你相信吗？
我知道你当然不相信,那么让我们利用数学来推导一下.
假设蚂蚁的体重为 $ x $ 克,大象的体重为 $ y $ 克,它们两个的体重和为 $ 2 a $ 克,即 $ x + y = 2 a $.
两边同时乘 $ ( x - y ) $,
得 $ ( x + y ) ( x - y ) = 2 a ( x - y ) $,
即 $ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 2 a x - 2 a y $,
可以变形为 $ x ^ { 2 } - 2 a x = y ^ { 2 } - 2 a y $.
两边同时加上 $ a ^ { 2 } $,得 $ x ^ { 2 } - 2 a x + a ^ { 2 } = y ^ { 2 } - 2 a y + a ^ { 2 } $,
即 $ ( x - a ) ^ { 2 } = ( y - a ) ^ { 2 } $.
于是 $ \sqrt { ( x - a ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( y - a ) ^ { 2 } } $,
得 $ x - a = y - a $,
所以 $ x = y $,
所以大象和蚂蚁的体重相同.
这个答案实在是太荒唐了,那么问题出在哪里呢？请同学们想一想.
错误出在由$\sqrt{(x - a)^2}=\sqrt{(y - a)^2}$得到$x - a = y - a$这一步，正确的应该是$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$
答案：
【解析】：本题的错误出在由$\sqrt{(x - a)^2}=\sqrt{(y - a)^2}$得到$x - a = y - a$这一步。根据二次根式的性质$\sqrt{m^2}=\vert m\vert$，所以$\sqrt{(x - a)^2}=\vert x - a\vert$，$\sqrt{(y - a)^2}=\vert y - a\vert$，那么由$\sqrt{(x - a)^2}=\sqrt{(y - a)^2}$应该得到$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$，而不是直接得出$x - a = y - a$。因为蚂蚁和大象体重不同，即$x\neq y$，那么$x - a$与$y - a$是互为相反数的关系，应该是$x - a=-(y - a)$，展开得到$x - a=-y + a$，即$x + y = 2a$，这与我们最初的假设一致。
【答案】：错误出在由$\sqrt{(x - a)^2}=\sqrt{(y - a)^2}$得到$x - a = y - a$这一步，正确的应该是$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$ 。
【答案】：错误出在由$\sqrt{(x - a)^2}=\sqrt{(y - a)^2}$得到$x - a = y - a$这一步，正确的应该是$\vert x - a\vert=\vert y - a\vert$ 。
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