《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学人教版》

7. 如图18-24,在四边形$ABCD$中,$BC = CD$,$∠C = 2∠BAD$,$O是四边形ABCD$内一点,且$OA = OB = OD$.

求证：(1)$∠BOD = ∠C$；
(2)四边形$OBCD$是菱形.

答案：
(1)延长AO到点E，
∵ OA = OB，
∴ ∠ABO = ∠BAO。又
∵ ∠BOE = ∠ABO + ∠BAO，
∴ ∠BOE = 2∠BAO，同理∠DOE = 2∠DAO，
∴ ∠BOE + ∠DOE = 2∠BAO + 2∠DAO = 2(∠BAO + ∠DAO)，即∠BOD = 2∠BAD。又
∵ ∠C = 2∠BAD，
∴ ∠BOD = ∠C。
(2)连接OC，
∵ BC = CD，OB = OD，OC = OC，
∴ △OBC ≌ △ODC，
∴ ∠BOC = ∠DOC，∠BCO = ∠DCO。
∵ ∠BOD = ∠BOC + ∠DOC，∠BCD = ∠BCO + ∠DCO，
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠BOD，∠BCO = $\frac{1}{2}$∠BCD。又
∵ ∠BOD = ∠BCD，
∴ ∠BOC = ∠BCO，
∴ OB = BC。又
∵ OB = OD，BC = CD，
∴ OB = BC = CD = OD，
∴ 四边形OBCD是菱形。

1. 如图18-25,$O为正方形ABCD对角线AC$的中点,$\triangle ACE$为等边三角形. 若$AB = 2$,则$OE$的长度为(B)

A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： B

2. 四边形$ABCD$是菱形,添加一个条件：∠BAD = 90°,可使它成为正方形.

答案： 答案不唯一，如：∠BAD = 90°

3. 如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是正方形.

答案： 正方形

4. 如图18-26,菱形$ABCD的面积为120\ cm^{2}$,正方形$AECF的面积为72\ cm^{2}$,则菱形的边长为$2\sqrt{34}$(结果中如有根号,请保留根号).

答案： $2\sqrt{34}$

5. 如图18-27,正方形$ABCD$的边长为8,点$E是CD$的中点,$HG垂直平分AE且分别交AE$,$BC于点H$,$G$,则$BG = $______.

答案：
1 提示：连接AG，EG。
∵ E是CD的中点，
∴ DE = CE = 4。设CG = x，则BG = 8 - x。在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB² + BG² = AG² = EG² = CE² + CG²，
∴ 8² + (8 - x)² = 4² + x²，解得x = 7，
∴ BG = BC - CG = 8 - 7 = 1。