《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学人教版》

6. 如图18-28,$E$,$F是正方形ABCD的对角线BD$上的两点,且$BE = DF$.
(1)求证：$\triangle ABE\cong \triangle CDF$；
(2)若$AB = 3\sqrt{2}$,$BE = 2$,求四边形$AECF$的面积.

答案：

(1)
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ CD = AB，∠ABE = ∠CDF = 45°。又
∵ BE = DF，
∴ △ABE ≌ △CDF(SAS)。
(2)连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，AO = CO，DO = BO。又
∵ DF = BE，
∴ OE = OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥EF，
∴ 四边形AECF是菱形。
∵ 在正方形ABCD中，AB = $3\sqrt{2}$，
∴ AC = BD = 6。
∵ BE = DF = 2，
∴ EF = 2，
∴ 四边形AECF的面积为$\frac{1}{2}$AC·EF = $\frac{1}{2}$×6×2 = 6。
　　　　　　　　　　　　

7. 如图18-29,在$□ ABCD$中,$O是CD$的中点,连接$AO$并延长,交$BC的延长线于点E$.

(1)求证：$\triangle AOD\cong \triangle EOC$.
(2)连接$AC$,$DE$,当$∠B = ∠AEB = $45°时,四边形$ACED$是正方形. 请说明理由.

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠D = ∠OCE，∠DAO = ∠OEC。又
∵ OC = OD，
∴ △AOD ≌ △EOC。
(2)45° 理由如下：
∵ △AOD ≌ △EOC，
∴ OA = OE。又
∵ OC = OD，
∴ 四边形ACED是平行四边形。
∵ ∠B = ∠AEB = 45°，
∴ AB = AE，∠BAE = 90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD，
∴ ∠COE = ∠BAE = 90°，
∴ 四边形ACED是菱形。
∵ AB = AE，AB = CD，
∴ AE = CD，
∴ 菱形ACED是正方形，
∴ 四边形ACED是正方形。