《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学人教版》

13. 问题情境:
如图18-52①,四边形$ABCD$是正方形,$M是BC$边上的一点,$E是CD$边的中点,$AE平分\angle DAM$.

探究展示:
(1) 求证:$AM = AD + MC$.
过 E 点作 $ EF \perp AM $，垂足为 F。∵ AE 平分 $ \angle DAM $，$ AD \perp DE $，∴ $ ED = EF $。在 $ Rt\triangle AEF $ 和 $ Rt\triangle AED $ 中，$ \left\{ \begin{array}{l} EF = ED, \\ AE = AE, \end{array} \right. $ ∴ $ Rt\triangle AEF \cong Rt\triangle AED (HL) $，∴ $ AF = AD $。连接 EM，∵ E 是 CD 边的中点，∴ $ ED = CE $。∵ $ ED = EF $，∴ $ CE = EF $。在 $ Rt\triangle MEF $ 和 $ Rt\triangle MEC $ 中，$ \left\{ \begin{array}{l} EF = EC, \\ EM = EM, \end{array} \right. $ ∴ $ Rt\triangle MEF \cong Rt\triangle MEC (HL) $，∴ $ FM = CM $。∵ $ AM = AF + FM $，∴ $ AM = AD + MC $。
(2) $AM = DE + BM$是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
成立，证明如下：把 $ \triangle ADE $ 绕 A 点顺时针旋转 $ 90^{\circ} $，使 AD 和 AB 重合，得到三角形 $ ABE' $，∴ $ \angle DAE = \angle BAE' $，$ \angle AED = \angle E' $，$ DE = E'B $。∵ AE 平分 $ \angle DAM $，∴ $ \angle DAE = \angle MAE $。∵ $ AB // CD $，∴ $ \angle AED = \angle BAE $。∵ $ \angle BAE = \angle BAM + \angle MAE $，∴ $ \angle BAE = \angle BAM + \angle BAE' = \angle MAE' $，∴ $ \angle E' = \angle MAE' $，∴ $ AM = E'M $。∵ $ E'M = E'B + BM $，∴ $ AM = DE + BM $。
拓展延伸:
(3) 若四边形$ABCD$是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图18-52②,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.
$AM = AD + MC$成立，$AM = DE + BM$不成立。

答案：
(1) 过 E 点作 $ EF \perp AM $，垂足为 F。
∵ AE 平分 $ \angle DAM $，$ AD \perp DE $，
∴ $ ED = EF $。在 $ Rt\triangle AEF $ 和 $ Rt\triangle AED $ 中，$ \left\{ \begin{array}{l} EF = ED, \\ AE = AE, \end{array} \right. $
∴ $ Rt\triangle AEF \cong Rt\triangle AED (HL) $，
∴ $ AF = AD $。连接 EM，
∵ E 是 CD 边的中点，
∴ $ ED = CE $。
∵ $ ED = EF $，
∴ $ CE = EF $。在 $ Rt\triangle MEF $ 和 $ Rt\triangle MEC $ 中，$ \left\{ \begin{array}{l} EF = EC, \\ EM = EM, \end{array} \right. $
∴ $ Rt\triangle MEF \cong Rt\triangle MEC (HL) $，
∴ $ FM = CM $。
∵ $ AM = AF + FM $，
∴ $ AM = AD + MC $。
(2) 把 $ \triangle ADE $ 绕 A 点顺时针旋转 $ 90^{\circ} $，使 AD 和 AB 重合，得到三角形 $ ABE' $，
∴ $ \angle DAE = \angle BAE' $，$ \angle AED = \angle E' $，$ DE = E'B $。
∵ AE 平分 $ \angle DAM $，
∴ $ \angle DAE = \angle MAE $。
∵ $ AB // CD $，
∴ $ \angle AED = \angle BAE $。
∵ $ \angle BAE = \angle BAM + \angle MAE $，
∴ $ \angle BAE = \angle BAM + \angle BAE' = \angle MAE' $，
∴ $ \angle E' = \angle MAE' $，
∴ $ AM = E'M $。
∵ $ E'M = E'B + BM $，
∴ $ AM = DE + BM $。
(3) $ AM = AD + MC $ 成立，$ AM = DE + BM $ 不成立。