《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学人教版》

6. 如图18-17,四边形$ABCD$中,对角线$AC与BD相交于点O$,$OA = OC$,$OB = OD$,且$∠AOB = 2∠DAO$.

(1)求证：四边形$ABCD$是矩形；
证明：∵ OA = OC，OB = OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形。∵ ∠AOB = ∠DAO + ∠ADO = 2∠DAO，∴ ∠DAO = ∠ADO，∴ OA = OD，∴ AC = BD，∴ 四边形ABCD是矩形。
(2)若$∠AOB:∠ODC = 4:3$,求$∠ADO$的度数.
36°

答案：
(1)
∵ OA = OC，OB = OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠AOB = ∠DAO + ∠ADO = 2∠DAO，
∴ ∠DAO = ∠ADO，
∴ OA = OD，
∴ AC = BD，
∴ 四边形ABCD是矩形。
(2)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠ABO = ∠ODC。
∵ ∠AOB : ∠ODC = 4 : 3，
∴ ∠AOB : ∠ABO = 4 : 3，
∴ ∠BAO : ∠AOB : ∠ABO = 3 : 4 : 3，
∴ ∠AOB = 72°，
∴ ∠ADO = $\frac{1}{2}$∠AOB = 36°。

7. 如图18-18,在$□ ABCD$中,$AC$,$BD相交于点O$,$E$,$F分别是OA$,$OC$的中点.
(1)求证：$BE = DF$.
(2)设$\frac{AC}{BD} = k$,当$k$为何值时,四边形$DEBF$是矩形？请说明理由.

(1)如图，连接DE，BF。∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB = OD，OA = OC。∵ E，F分别是OA，OC的中点，∴ OE = $\frac{1}{2}$OA，OF = $\frac{1}{2}$OC，∴ OE = OF。∵ OB = OD，OE = OF，∴ 四边形BFDE是平行四边形，∴ BE = DF。 (2)当k = 2时，四边形DEBF是矩形。理由如下：当BD = EF时，四边形DEBF是矩形，∴ 当OD = OE时，四边形DEBF是矩形。∵ AE = OE，∴ AC = 2BD，∴ 当k = 2时，四边形DEBF是矩形。

答案：
(1)如图，连接DE，BF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB = OD，OA = OC。
∵ E，F分别是OA，OC的中点，
∴ OE = $\frac{1}{2}$OA，OF = $\frac{1}{2}$OC，
∴ OE = OF。
∵ OB = OD，OE = OF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∴ BE = DF。
(2)当k = 2时，四边形DEBF是矩形。理由如下：当BD = EF时，四边形DEBF是矩形，
∴ 当OD = OE时，四边形DEBF是矩形。
∵ AE = OE，
∴ AC = 2BD，
∴ 当k = 2时，四边形DEBF是矩形。