《2025年暑假活动实践与思考八年级理综通用版》

6. 展现的作品中有一幅作品如图1所示，目光如炬的小悦从中提取出部分图案，并稍加修改.平面图如图2所示，四边形ABCD是矩形，点E是DC的中点，延长DC至G，使得CG=$\frac{1}{2}CD$，连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接BG，FG.
（1）求证：四边形BEFG是菱形；
（2）若BE平分∠AEG，AB=4，求菱形BEFG的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠ECF=90°，AD=BC
∵E是CD的中点
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中，
$\begin{cases}{∠D=∠ECF}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEF}\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE(ASA)
∴AD=CF
∴BC=CF
∵CG=$\frac{1}{2}$CD
∴CG=CE
∴EG、BF互相平分
∴四边形BEFG是平行四边形
∵BF⊥EG
∴四边形BEFG是菱形
（2）解：∵BE平分∠AEG，∴∠AEB = ∠GEB.
∵AB//CD，∴∠ABE = ∠BEG.
∴∠ABE = ∠AEB. ∴AB = AE = 4.
∵DE = EC = $\frac{1}{2}$CD = 2，
∴AD = $\sqrt{AE^{2}-DE^{2}}$ = $2\sqrt{3}$.
∴BC = $2\sqrt{3}$. ∴BF = $4\sqrt{3}$.
∵EG = 2EC = 4，
∴菱形BEFG的面积 = $\frac{BF\cdot EG}{2}$ = $8\sqrt{3}$.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠ECF=90°，AD=BC
∵E是CD的中点
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中，
$\begin{cases}{∠D=∠ECF}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEF}\end{cases}$
∴△ADE≌△FCE(ASA)
∴AD=CF
∴BC=CF
∵CG=$\frac{1}{2}$CD
∴CG=CE
∴EG、BF互相平分
∴四边形BEFG是平行四边形
∵BF⊥EG
∴四边形BEFG是菱形
(2)解：
∵BE平分∠AEG，
∴∠AEB = ∠GEB.
∵AB//CD，
∴∠ABE = ∠BEG.
∴∠ABE = ∠AEB.
∴AB = AE = 4.
∵DE = EC = $\frac{1}{2}$CD = 2，
∴AD = $\sqrt{AE^{2}-DE^{2}}$ = $2\sqrt{3}$.
∴BC = $2\sqrt{3}$.
∴BF = $4\sqrt{3}$.
∵EG = 2EC = 4，
∴菱形BEFG的面积 = $\frac{BF\cdot EG}{2}$ = $8\sqrt{3}$.

7. 小悦从相关负责人处得知，本次剪纸艺术大赛有$105$人参赛，他们的参赛成绩各不相同，前$53$名将获奖.小悦已经知道了自己的成绩，她想知道自己是否获奖，只需要知道这$105$人成绩的中位数（选填“平均数”“中位数”“众数”或“方差”）.

答案： 中位数

8. 此次剪纸艺术大赛，举办方需要定制某种特别的礼品作为奖品，这种特别的礼品可以通过两种方案获得.在好奇心的驱使下，小悦询问举办方某负责人，了解到如下信息：
方案一：从生产厂直接定制，每个礼品400元；
方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个礼品还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）.
设需要该种礼品x个，方案一，二的总费用分别为y₁元，y₂元，且y₁，y₂关于x的函数图象分别对应直线l₁，l₂，如图所示.
（1）求a的值及y₁，y₂关于x的函数表达式；
（2）假设你是该举办方的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由.
（1）a的值为400，y₁关于x的函数表达式为y₁=400x，y₂关于x的函数表达式为y₂=200x+10000；
（2）当0≤x<50时，选择方案一省钱；当x=50时，方案一和方案二费用相同；当x>50时，选择方案二省钱。

答案： 解：（1）
已知方案一：$y_{1}=ax$，当$x = 20$时，$y_{1}=8000$，将$x = 20$，$y_{1}=8000$代入$y_{1}=ax$中，根据函数的定义$y = kx$（$k$为常数），这里$k=a$，$x = 20$，$y=8000$，可得$8000=a\times20$，解得$a = 400$，所以$y_{1}=400x$。
设$y_{2}=kx + b$（$k\neq0$），因为直线$l_{2}$过点$(0,10000)$和$(20,14000)$。
将$(0,10000)$代入$y_{2}=kx + b$中，根据$y=kx + b$（$x = 0$时，$y=b$），可得$b = 10000$。
再将$b = 10000$，$x = 20$，$y_{2}=14000$代入$y_{2}=kx + 10000$中，得到$14000=20k + 10000$。
移项可得$20k=14000 - 10000$，即$20k = 4000$，解得$k = 200$。
所以$y_{2}=200x+10000$。
（2）
令$y_{1}=y_{2}$，即$400x=200x + 10000$。
移项可得$400x-200x=10000$，根据合并同类项法则$ax+bx=(a + b)x$，这里$a = 400$，$b=-200$，则$200x=10000$，解得$x = 50$。
当$y_{1}\gt y_{2}$时，$400x\gt200x + 10000$，移项得$400x-200x\gt10000$，$200x\gt10000$，解得$x\gt50$。
当$y_{1}\lt y_{2}$时，$400x\lt200x + 10000$，移项得$400x-200x\lt10000$，$200x\lt10000$，解得$x\lt50$。
所以当$0\leqslant x\lt50$时，选择方案一省钱；当$x = 50$时，方案一和方案二费用相同；当$x\gt50$时，选择方案二省钱。
综上，（1）$a = 400$，$y_{1}=400x$，$y_{2}=200x + 10000$；（2）当$0\leqslant x\lt50$时选方案一，$x = 50$时两方案均可，$x\gt50$时选方案二。