《2025年暑假活动实践与思考八年级理综通用版》

14. 如图所示，平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别是$\angle BAD$，$\angle BCD$的平分线，且 E，F 分别在边 BC，AD 上，$AE = AF$.
（1）求证：四边形 AECF 是菱形；
（2）若$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\triangle ABE$的面积等于$4\sqrt{3}$，求平行线 AB 与 DC 间的距离.$4\sqrt{3}$

答案：
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠DCB,BC//AD.

∴∠FAE=∠BEA.

∵AE，CF分别是∠BAD,∠BCD的 平分线，

∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠BCD.

∴∠FAE=∠FCE.

∴∠BEA=∠FCE.

∴AE//FC.

又
∵E，F分别在边BC,AD上，

∴EC//AF.

∴四边形AECF是平行四边形,

又
∵AE=AF,

∴四边形AECF是菱形.

(2) 解：连接 EF. 根据题意，得
$ \angle A B C = \angle C D A = 60 ^ { \circ } $，$ \angle B A D = 120 ^ { \circ } $。
∵ AE 是 $ \angle B A D $ 的平分线，$ A E = A F $，
$ \therefore \angle B A E = \angle E A F = 60 ^ { \circ } $。
$ \therefore \triangle A B E $，$ \triangle A E F $ 是等边三角形。
$ \therefore A B = A E $。
$ \therefore \triangle A B E $，$ \triangle A E F $ 是边长等于 AB 的等边三角形。
同理可证 $ \triangle C D F $，$ \triangle C E F $ 是边长等于 CD 的等边三角形。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$ \therefore A B = C D $。
$ \therefore \triangle A B E $，$ \triangle A E F $，$ \triangle C E F $，$ \triangle C D F $ 是边长等于 AB 的等边三角形。
由 $ \triangle A B E $ 的面积等于 $ 4 \sqrt { 3 } $ 得 $ A B = 4 $，且平行四边形 ABCD 的面积等于 $ 16 \sqrt { 3 } $。
设平行线 AB 与 DC 间的距离为 h，则
$ A B \times h = 4 h = 16 \sqrt { 3 } $，解得 $ h = 4 \sqrt { 3 } $。
$ \therefore $ 平行线 AB 与 CD 间的距离为 $ 4 \sqrt { 3 } $。

15. 云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表：
|种别|玫瑰鲜花饼|茉莉鲜花饼|
|--|--|--|
|进价/（元/盒）|30|45|
|备注|①不超过 1950 元购进两种鲜花饼共 50 盒；②茉莉鲜花饼不少于 20 盒.|
（1）已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的 1.5 倍，若顾客用 750 元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少 5 盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价；
（2）为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价 8 折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？

答案： $解：(1)设玫瑰鲜花饼的标价为x 元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为 1.5x 元/盒.$

$由题意，得\frac {750}x-\frac{750}{1.5x}=5，解得x=50,$

$经检验x=50是原分式方程的解$

$∴1.5x=1.5×50=75(元).$

答：玫瑰鲜花饼的标价为 50 元/盒，茉莉鲜花饼的标价为 75 元/盒；
(2) 设购进玫瑰鲜花饼 a 盒，则购进茉莉鲜花饼 $ ( 50 - a ) $ 盒. 商店利润为 W 元. 由题意，得
$ W = ( 50 - 30 ) a + ( 75 \times 0.8 - 45 ) ( 50 - a ) = 5 a + 750 $。
根据题意，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 30 a + 45 ( 50 - a ) \leq 1950 }, \\ { 50 - a \geq 20 }. \end{array} \right. $
解得 $ 20 \leq a \leq 30 $。
$ \because k = 5 ＞ 0 $，$ \therefore W $ 随 a 的增大而增大。
$ \therefore $ 当 $ a = 30 $ 时，$ W _ { \text { 最大 } } = 5 \times 30 + 750 = 900 $（元）。
此时，$ 50 - a = 20 $（盒）。
答：购进玫瑰鲜花饼 30 盒，购进茉莉鲜花饼 20 盒，商店利润最大，最大利润为 900 元。

16. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线$l_{1}$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，直线$l_{2}$的解析式为$y = x$，直线$l_{1}$经过点$A(6,0)$，$B(0,3)$，直线$l_{1}$与$l_{2}$交于点 C.
（1）求直线$l_{1}$的解析式和$\triangle COB$的面积；
（2）在 x 轴上是否存在点 P，使得$\triangle POC$为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解：
(1)（过程略）直线 $ l _ { 1 } $ 的解析式为 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x + 3 $，$ \triangle C O B $ 的面积为 3；
(2) 在 x 轴上存在点 P，使得 $ \triangle P O C $ 为等腰三角形。
根据题意，共有三种情况，如备用图所示。

① 当点 O 为顶角顶点时，$ O P = O C $。
以点 O 为圆心，OC 长为半径的圆与 x 轴的两个交点 $ P _ { 1 } $，$ P _ { 2 } $ 就是此时的点 P。
易得，$ O C = 2 \sqrt { 2 } $。
$ \therefore $ 点 $ P _ { 1 } $ 的坐标为 $ ( - 2 \sqrt { 2 } , 0 ) $，点 $ P _ { 2 } $ 的坐标为 $ ( 2 \sqrt { 2 } , 0 ) $；
② 当点 C 为顶角顶点时，$ C P = C O $。
以点 C 为圆心，CO 长为半径的圆与 x 轴的交点 $ P _ { 3 } $ 就是此时的点 P。
易得，点 $ P _ { 3 } $ 的坐标为 $ ( 4 , 0 ) $；
③ 当点 P 为顶角顶点时，显然，OC 的垂直平分线与 x 轴的交点 $ P _ { 4 } $ 就是此时的点 P。
易得，点 $ P _ { 4 } $ 的坐标为 $ ( 2 , 0 ) $。
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为 $ ( - 2 \sqrt { 2 } , 0 ) $ 或 $ ( 2 \sqrt { 2 } , 0 ) $ 或 $ ( 4 , 0 ) $ 或 $ ( 2 , 0 ) $。