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8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(1 丈 $ = 10 $ 尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 $ x $ 尺，则可列方程为
$ x ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = ( 10 - x ) ^ { 2 } $
。
答案：
$ x ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = ( 10 - x ) ^ { 2 } $
9. 在 $ \triangle A B C $ 中，$ A B = 15 $，$ A C = 13 $，$ B C $ 边上的高 $ A D = 12 $，则 $ \triangle A B C $ 的周长为
42 或 32
。
答案：
42 或 32
10. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示。将一根长为 $ 20 \mathrm { cm } $ 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有____
5
$\mathrm { cm } $。
答案：
5
11. 自 2024 年以来，昆明市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化。如图所示，在某小区旁有一块四边形空地，其中 $ \angle B = 90 ^ { \circ } $，$ A B = 20 \mathrm { m } $，$ B C = 15 \mathrm { m } $，$ A D = 24 \mathrm { m } $，$ C D = 7 \mathrm { m } $。
(1)如图所示，连接 $ A C $，试求 $ A C $ 的长；
(2)昆明市计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为 2 000 元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱？
(1)∵在 Rt△ABC中,∠B= 90°,AB=20,BC=15,
∴AC= \sqrt{AB²+BC²}=
答:AC的长为25米
(2) $ \because $ 在 $ \triangle A C D $ 中，$ A D = 24 $，$ C D = 7 $，$ A C = 25 $，
$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 24 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } = 625 $．
$ \because A C ^ { 2 } = 25 ^ { 2 } = 625 $，$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } $．
$ \therefore \triangle A C D $ 为直角三角形，且 $ \angle D = 90 ^ { \circ } $．
$ \therefore S _ { \text { 四边形 } A B C D } = S _ { \text { Rt } \triangle A B C } + S _ { \text { Rt } \triangle A C D } =
$ \therefore 234 × 2000 =
答：将这块地打造成“口袋公园”需要 468 000 元钱．
(1)如图所示，连接 $ A C $，试求 $ A C $ 的长；
(2)昆明市计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为 2 000 元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱？
(1)∵在 Rt△ABC中,∠B= 90°,AB=20,BC=15,
∴AC= \sqrt{AB²+BC²}=
25
(\mathrm {m}).答:AC的长为25米
(2) $ \because $ 在 $ \triangle A C D $ 中，$ A D = 24 $，$ C D = 7 $，$ A C = 25 $，
$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 24 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } = 625 $．
$ \because A C ^ { 2 } = 25 ^ { 2 } = 625 $，$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } $．
$ \therefore \triangle A C D $ 为直角三角形，且 $ \angle D = 90 ^ { \circ } $．
$ \therefore S _ { \text { 四边形 } A B C D } = S _ { \text { Rt } \triangle A B C } + S _ { \text { Rt } \triangle A C D } =
234
\left( \mathrm { m } ^ { 2 } \right) $．$ \therefore 234 × 2000 =
468000
$ (元)．答：将这块地打造成“口袋公园”需要 468 000 元钱．
答案：
$解：(1)∵在 Rt△ABC中,∠B= 90°,AB=20,BC=15,$
(2) $ \because $ 在 $ \triangle A C D $ 中，$ A D = 24 $，$ C D = 7 $，$ A C = 25 $，
$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 24 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } = 625 $．
$ \because A C ^ { 2 } = 25 ^ { 2 } = 625 $，$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } $．
$ \therefore \triangle A C D $ 为直角三角形，且 $ \angle D = 90 ^ { \circ } $．
$ \therefore S _ { \text { 四边形 } A B C D } = S _ { \text { Rt } \triangle A B C } + S _ { \text { Rt } \triangle A C D } = 234 \left( \mathrm { m } ^ { 2 } \right) $．
$ \therefore 234 \times 2000 = 468000 $ (元)．
答：将这块地打造成“口袋公园”需要 468 000 元钱．
$∴AC= \sqrt{AB²+BC²}=25(\mathrm {m}).$
答:AC的长为25米
(2) $ \because $ 在 $ \triangle A C D $ 中，$ A D = 24 $，$ C D = 7 $，$ A C = 25 $，
$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 24 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } = 625 $．
$ \because A C ^ { 2 } = 25 ^ { 2 } = 625 $，$ \therefore A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = A C ^ { 2 } $．
$ \therefore \triangle A C D $ 为直角三角形，且 $ \angle D = 90 ^ { \circ } $．
$ \therefore S _ { \text { 四边形 } A B C D } = S _ { \text { Rt } \triangle A B C } + S _ { \text { Rt } \triangle A C D } = 234 \left( \mathrm { m } ^ { 2 } \right) $．
$ \therefore 234 \times 2000 = 468000 $ (元)．
答：将这块地打造成“口袋公园”需要 468 000 元钱．
12. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫作奇异三角形。
小华：等边三角形一定是奇异三角形！并做了如下证明：
设等边三角形的边长为 $ a $。
$ \because a ^ { 2 } + a ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } $，$ \therefore $ 等边三角形一定是奇异三角形。
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
(1)在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，两边长分别是 $ a = 5 \sqrt { 2 } $，$ c = 10 $，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由；
① 当 c 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形．理由如下：
当 c 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 2 } $，
$ \therefore a = b $．
$ \therefore a ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 b ^ { 2 } $ (或 $ b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 a ^ { 2 } $)．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形；
② 当 b 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形．理由如下：
当 b 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } + a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 6 } $，
$ \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 200 $，$ 2 c ^ { 2 } = 200 $，$ \therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 2 c ^ { 2 } $．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形
(2)在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ A B = c $，$ A C = b $，$ B C = a $，且 $ b ＞ a $。若 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形，求 $ a : b : c $ 的值。
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫作奇异三角形。
小华：等边三角形一定是奇异三角形！并做了如下证明：
设等边三角形的边长为 $ a $。
$ \because a ^ { 2 } + a ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } $，$ \therefore $ 等边三角形一定是奇异三角形。
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
(1)在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，两边长分别是 $ a = 5 \sqrt { 2 } $，$ c = 10 $，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由；
① 当 c 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形．理由如下：
当 c 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 2 } $，
$ \therefore a = b $．
$ \therefore a ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 b ^ { 2 } $ (或 $ b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 a ^ { 2 } $)．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形；
② 当 b 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形．理由如下：
当 b 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } + a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 6 } $，
$ \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 200 $，$ 2 c ^ { 2 } = 200 $，$ \therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 2 c ^ { 2 } $．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形
(2)在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ A B = c $，$ A C = b $，$ B C = a $，且 $ b ＞ a $。若 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形，求 $ a : b : c $ 的值。
$ 1 : \sqrt { 2 } : \sqrt { 3 } $
答案：
解：
(1) ① 当 c 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形．理由如下：
当 c 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 2 } $，
$ \therefore a = b $．
$ \therefore a ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 b ^ { 2 } $ (或 $ b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 a ^ { 2 } $)．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形；
② 当 b 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形．理由如下：
当 b 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } + a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 6 } $，
$ \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 200 $，$ 2 c ^ { 2 } = 200 $，$ \therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 2 c ^ { 2 } $．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形；
(2) 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $，
$ \because c ＞ b ＞ a ＞ 0 $，
$ \therefore 2 c ^ { 2 } ＞ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $，$ 2 a ^ { 2 } ＜ b ^ { 2 } + c ^ { 2 } $．
$ \because \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形，
$ \therefore a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 } $．$ \therefore 2 b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) $．
$ \therefore b ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } $．$ \therefore b = \sqrt { 2 } a $．
$ \because c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 3 a ^ { 2 } $，$ \therefore c = \sqrt { 3 } a $．
$ \therefore a : b : c = 1 : \sqrt { 2 } : \sqrt { 3 } $．
(1) ① 当 c 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形．理由如下：
当 c 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 2 } $，
$ \therefore a = b $．
$ \therefore a ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 b ^ { 2 } $ (或 $ b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 2 a ^ { 2 } $)．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 不是奇异三角形；
② 当 b 为斜边时，$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形．理由如下：
当 b 为斜边时，$ b = \sqrt { c ^ { 2 } + a ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 6 } $，
$ \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 200 $，$ 2 c ^ { 2 } = 200 $，$ \therefore a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 2 c ^ { 2 } $．
$ \therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形；
(2) 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $，
$ \because c ＞ b ＞ a ＞ 0 $，
$ \therefore 2 c ^ { 2 } ＞ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $，$ 2 a ^ { 2 } ＜ b ^ { 2 } + c ^ { 2 } $．
$ \because \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 是奇异三角形，
$ \therefore a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 } $．$ \therefore 2 b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) $．
$ \therefore b ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } $．$ \therefore b = \sqrt { 2 } a $．
$ \because c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 3 a ^ { 2 } $，$ \therefore c = \sqrt { 3 } a $．
$ \therefore a : b : c = 1 : \sqrt { 2 } : \sqrt { 3 } $．
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