《2025年暑假活动实践与思考八年级理综通用版》

11. 已知一次函数$y = kx + b$的图象如图所示,当$x ＜ 1$时,$y$的取值范围是$ y ＜ -2 $.

答案： $ y ＜ -2 $

12. 昆明地铁$1$号线的列车匀速通过某隧道时,列车在隧道内的长度$y(\text{m})$与列车行驶时间$x(\text{s})$之间的关系图象描述如图所示,则下列结论:①列车的长度为$120\ \text{m}$;②列车的速度为$30\ \text{m/s}$;③列车整体在隧道内的时间为$25\ \text{s}$;④隧道长度为$750\ \text{m}$.其中正确的结论是____②③(填序号).

答案： ②③

13. 函数$y = x + 1$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于$A$,$B$两点,点$C$在$x$轴上.若$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点$C$共有4个.

答案： 4

14. 已知$y - 3$与$x$成正比例,且当$x = 2$时,$y = 7$.
(1)求$y$与$x$的函数关系式;$y=2x+3$
(2)当$x = -\frac{1}{2}$时,求$y$的值;$2$
(3)当$x$取何值时,$y\geqslant - 2$.$x\geqslant-\frac{5}{2}$

答案：

$解：(1)∵y-3与x成正比例， $

$∴设y-3=kx(k≠0).$

$∵当x=2时，y=7， $

$∴2k=7-3，解得k=2.$

$∴y与x的函数关系式为y=2x+3.$

$(2)当x=-\frac 12时，y=-1+3=2.$

$(3)∵y≥-2，$

$∴2x+3≥-2.$

$∴x≥-\frac{5}{2}.$

15. 如图所示,在平面直角坐标系中,已知一次函数$y=\frac{1}{2}x + 1$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于$A$,$B$两点,以$AB$为边在第二象限内作正方形$ABCD$.
(1)求正方形$ABCD$的面积;
(2)求点$C$,$D$的坐标;
(3)在$x$轴上是否存在点$M$,使$\triangle MDB$的周长最小? 若存在,请求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
解：
(1)(过程略)正方形 $ ABCD $ 面积为 5；
(2)(过程略)$ C(-1, 3) $，$ D(-3, 2) $；
(3)
在 $ x $ 轴上存在点 $ M $，使 $ \triangle MDB $ 的周长最小. 如图 2 所示，找出点 $ B $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ B' $，连接 $ B'D $，与 $ x $ 轴交于点 $ M $，此时 $ \triangle BMD $ 周长最小.
$ \because B(0, 1) $，$ \therefore B'(0, -1) $.
设 $ B'D $ 所在直线的解析式为 $ y = kx + b $ ($ k \neq 0 $)，
把 $ B' $ 与 $ D $ 坐标代入，得 $ \begin{cases} b = -1, \\ -3k + b = 2. \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k = -1, \\ b = -1. \end{cases} $ 即 $ y_{B'D} = -x - 1 $.
令 $ y = 0 $，则 $ x = -1 $.
$ \therefore $ 点 $ M $ 的坐标为 $ (-1, 0) $.