《2025年暑假活动实践与思考八年级理综通用版》

【活动任务】
我们知道,对于任意一个四边形,连接它的四边的中点所构成的四边形是一个平行四边形.由此,我们自然想到:在什么条件下,连接四边形各边中点所构成的四边形是矩形、菱形或正方形呢?
1. 任意画两条互相垂直且相交的线段 $ AC $, $ BD $,并顺次连接四个端点得到四边形 $ ABCD $,如图 1 所示.连接四边形 $ ABCD $ 的各边中点得到四边形 $ EFGH $,如图 2 所示.观察四边形 $ EFGH $,我们能发现它是一个矩形.
2. 任意画两条相等且相交的线段 $ AC $, $ BD $,并顺次连接四个端点得到四边形 $ ABCD $,如图 3 所示.连接四边形 $ ABCD $ 的各边中点得到四边形 $ EFGH $,如图 4 所示,观察四边形 $ EFGH $,我们能发现它是一个菱形.

任务 1:根据以上经验,猜想在一个什么样的四边形中,顺次连接其各边的中点,可以得到一个正方形,请你在下面画出示意图;
任务 2:顺次连接矩形、菱形和正方形各边中点所得到的四边形分别是什么四边形? 提出猜想,并说明你的猜想是否正确.

答案：
任务1：当四边形的对角线相等且互相垂直时，顺次连接其各边的中点，可以得到一个正方形。示意图如下：

任务2：①顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形
设矩形$ABCD$，$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点，连接$AC$、$BD$。根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。在$\triangle ABD$中，因为$E$是$AB$的中点，$H$是$AD$的中点，所以$EH// BD$，$EH = \frac{1}{2}BD$。在$\triangle BCD$中，因为$F$是$BC$的中点，$G$是$CD$的中点，所以$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$。则$EH// FG$，$EH = FG$，所以四边形$EFGH$是平行四边形。又因为矩形的对角线相等，即$AC = BD$，同理可得$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，所以$EF = EH$。有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形。
②顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形
设菱形$ABCD$，$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点，连接$AC$、$BD$。同样根据三角形中位线定理，在$\triangle ABD$中，$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$；在$\triangle BCD$中，$FG// BD$，$FG = \frac{1}{2}BD$，所以$EH// FG$，$EH = FG$，四边形$EFGH$是平行四边形。因为菱形的对角线互相垂直，即$AC\perp BD$，又因为$EF// AC$，$EH// BD$，所以$EF\perp EH$。有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形。
③顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形
设正方形$ABCD$，$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点，连接$AC$、$BD$。由三角形中位线定理可得，$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$，$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$，$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，所以$EH// FG$，$EH = FG$，$EF// HG$，$EF = HG$，四边形$EFGH$是平行四边形。因为正方形的对角线相等且互相垂直，即$AC = BD$，$AC\perp BD$，所以$EF = EH$且$EF\perp EH$。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形。
【答案】：顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形；顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形；顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形，猜想正确。