《2025年暑假活动实践与思考八年级理综通用版》

9. 如图所示，在 $ □ ABCD $ 中，$ \angle ADC = 119^{\circ} $，$ BE \perp DC $ 于点 $ E $，$ DF \perp BC $ 于点 $ F $，$ BE $ 与 $ DF $ 交于点 $ H $，则 $ \angle BHF = $61°。

答案： 61°

10. 如图所示，在 $ □ ABCD $ 中，$ \angle ABC = 60^{\circ} $，$ E $，$ F $ 分别在 $ CD $ 和 $ BC $ 的延长线上，$ AE // BD $，$ EF \perp BC $，$ EF = 3 $，则 $ AB $ 的长是______$\sqrt{3}$。

答案： $\sqrt{3}$

11. 如图所示，$ □ ABCD $ 的对角线相交于点 $ O $，且 $ AB \neq AD $，过点 $ O $ 作 $ OE \perp BD $ 交 $ BC $ 于点 $ E $。若 $ \triangle CDE $ 的周长为 10，则平行四边形 $ ABCD $ 的周长为20。

答案： 20

12. 如图所示，在 $ □ ABCD $ 中，$ \angle C = 60^{\circ} $，点 $ M $，$ N $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 的中点，$ BC = 2CD $。
求证：(1) 四边形 $ MNCD $ 是平行四边形；
(2) $ BD = \sqrt{3}MN $。

答案：
证明:
(1)略;
(2)如图所示，连接DN.

∵点N是BC的中点，$BC = 2CD$，
∴$CD = NC$.
∵$\angle C = 60^{\circ}$，
∴$\triangle DCN$是等边三角形.
∴$\angle DNC = \angle NDC = 60^{\circ}$，$ND = NB = CN$，$\angle DNB = 120^{\circ}$.
∴$\angle DBC = \angle BDN = 30^{\circ}$.
∴$\angle BDC = \angle BDN + \angle NDC = 90^{\circ}$.
∴$BD = \sqrt{BC^{2}-CD^{2}} = \sqrt{(2CD)^{2}-CD^{2}} = \sqrt{3}CD$.
∵四边形MNCD是平行四边形，
∴$MN = CD$.
∴$BD = \sqrt{3}MN$.

13. 如图所示，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // DC $，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ AD = CD = 13 \mathrm{~cm} $，$ BC = 12 \mathrm{~cm} $。$ M $，$ N $ 是线段 $ AB $，$ CD $ 上两动点，$ M $ 点从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 2 \mathrm{~cm} $ 的速度沿 $ AB $ 方向运动，$ N $ 点从点 $ D $ 出发，以每秒 $ 1 \mathrm{~cm} $ 的速度沿 $ DC $ 方向运动，$ M $，$ N $ 同时出发，同时停止。当 $ M $ 运动到点 $ B $ 时，$ M $，$ N $ 同时停止运动，设运动时间为 $ t $ 秒。
(1) 求 $ AB $ 的长；
(2) 当 $ t $ 为何值时，四边形 $ AMCN $ 为平行四边形？
(3) 在 $ M $，$ N $ 运动的过程中，是否存在四边形 $ MBCN $ 是矩形？若存在，请求出 $ t $ 的值；若不存在，请说明理由。

答案：
解:
(1)(过程略，提示:过点D作DE $ \perp AB$于点E.)AB的长为18cm;
(2)当四边形AMCN为平行四边形时，点M在AB上，点N在DC上，如图2所示，连接AN，CM.

∴$AM = CN$.
由题意，得 $AM = 2t$，$DN = t$，
∴$BM = 18 - 2t$，$CN = 13 - t$.
∴$2t = 13 - t$，解得 $t = \frac{13}{3}$.
∴当 $t = \frac{13}{3}$ 时，四边形AMCN为平行四边形；
(3)在M，N运动的过程中，存在四边形MBCN是矩形. 如图3所示，连接MN.

∵$AB // CD$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
∴当 $CN = BM$ 时，四边形MBCN是矩形.
∴$13 - t = 18 - 2t$，解得 $t = 5$.
∴当 $t = 5$ 时，四边形MBCN是矩形.