《2025年暑假活动实践与思考八年级理综通用版》

13.实数α,b在数轴上的位置如图所示,化简$\sqrt{a?}$+$\sqrt{(a+6)²}$−|b−a|=$-a - 2b$.

答案： 13. $-a - 2b$

14.当x=$\sqrt{2}$−1时,代数式x³+x²−3x+2025的值为2024.

答案： 14. 2 024

15.计算:($\sqrt{6}$-$\sqrt{\frac{3}{2}}$)-($\sqrt{24}$+$2\sqrt{\frac{2}{3}}$)
(1))$\frac{2}{3}\sqrt{9x}$-($x\sqrt{\frac{1}{x}}$+$\sqrt{x}$)

答案： 15. 解：
(1)原式$=-\frac{13 \sqrt{6}}{6}$；
(2)原式$=0$。

16.先化简，再求值:
$6x\sqrt{\dfrac{y}{x}}+\dfrac{3}{y}\sqrt{xy^{3}}-\left(4y\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{36xy}\right)$, 其中x=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$,y=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$
解：原式=$-\sqrt{xy}$。
当$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$时，原式=$-2$。

答案： 16. 解：原式$=-\sqrt{xy}$。
当$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$时，原式$=-2$。

17.阅读材料:像($\sqrt{3}$+1)($\sqrt{3}$−1)=2,$\sqrt{a}$×$\sqrt{a}$=a(a≥0),…这种两个含二次根式的代数式相乘,积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号.例如:$\frac{1}{2√2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2√2×√2}$=$\frac{√2}{4}$;$\frac{√3+1}{\sqrt{3}−1}$=$\frac{(√3+1)(√3+1)}{\sqrt{3}−1)(\sqrt{3}+1)}$=2+√3.解答下列问题:(1)$\sqrt{6}$的有理化因式是$\sqrt{6}$,$\sqrt{3}$+2的有理化因式为$\sqrt{3}-2$或$2-\sqrt{3}$;(2)观察下面的变形规律,请你猜想:$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$;$\frac{1}{2+1}$=√2−1$\frac{1}{3+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$"$\frac{1}{4+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$,...(3)利用上面的方法，请化简:$\frac{1}{1 + \sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$=$\sqrt{2025}-1$.

答案： 17. 解：
(1)$\sqrt{6}$ $\sqrt{3} - 2$或$2 - \sqrt{3}$
(2)$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
(3)原式$=\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{2025} - \sqrt{2024} = \sqrt{2025} - 1$。