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22. (10分)已知$x= \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1},y= \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$,求$x^2 - y^2$的值.
$24\sqrt{2}$
答案：
【解析】：
本题可先对$x$、$y$进行分母有理化化简，再根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$对$x^2 - y^2$进行变形，最后代入求值。
- **步骤一：对$x$、$y$进行分母有理化化简**
化简$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$：
给分子分母同时乘以$\sqrt{2} + 1$，可得：
$x = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}=\frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(\sqrt{2} + 1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$。
又因为$(\sqrt{2})^2 - 1^2=2 - 1 = 1$，所以$x = 3 + 2\sqrt{2}$。
化简$y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$：
给分子分母同时乘以$\sqrt{2} - 1$，可得：
$y = \frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}=\frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(\sqrt{2} - 1)^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2=2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$。
又因为$(\sqrt{2})^2 - 1^2=2 - 1 = 1$，所以$y = 3 - 2\sqrt{2}$。
- **步骤二：计算$x + y$与$x - y$的值**
计算$x + y$的值：
将$x = 3 + 2\sqrt{2}$，$y = 3 - 2\sqrt{2}$代入$x + y$，可得：
$x + y = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}=6$
计算$x - y$的值：
将$x = 3 + 2\sqrt{2}$，$y = 3 - 2\sqrt{2}$代入$x - y$，可得：
$x - y = 3 + 2\sqrt{2} - (3 - 2\sqrt{2})=3 + 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
- **步骤三：根据平方差公式计算$x^2 - y^2$的值**
根据平方差公式$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，将$x + y = 6$，$x - y = 4\sqrt{2}$代入可得：
$x^2 - y^2 = 6×4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$
【答案】：$24\sqrt{2}$
本题可先对$x$、$y$进行分母有理化化简，再根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$对$x^2 - y^2$进行变形，最后代入求值。
- **步骤一：对$x$、$y$进行分母有理化化简**
化简$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$：
给分子分母同时乘以$\sqrt{2} + 1$，可得：
$x = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}=\frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(\sqrt{2} + 1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$。
又因为$(\sqrt{2})^2 - 1^2=2 - 1 = 1$，所以$x = 3 + 2\sqrt{2}$。
化简$y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$：
给分子分母同时乘以$\sqrt{2} - 1$，可得：
$y = \frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}=\frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(\sqrt{2} - 1)^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2=2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$。
又因为$(\sqrt{2})^2 - 1^2=2 - 1 = 1$，所以$y = 3 - 2\sqrt{2}$。
- **步骤二：计算$x + y$与$x - y$的值**
计算$x + y$的值：
将$x = 3 + 2\sqrt{2}$，$y = 3 - 2\sqrt{2}$代入$x + y$，可得：
$x + y = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}=6$
计算$x - y$的值：
将$x = 3 + 2\sqrt{2}$，$y = 3 - 2\sqrt{2}$代入$x - y$，可得：
$x - y = 3 + 2\sqrt{2} - (3 - 2\sqrt{2})=3 + 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
- **步骤三：根据平方差公式计算$x^2 - y^2$的值**
根据平方差公式$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，将$x + y = 6$，$x - y = 4\sqrt{2}$代入可得：
$x^2 - y^2 = 6×4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$
【答案】：$24\sqrt{2}$
23. (12分)已知$m = \sqrt{2} - 1$.
(1)求代数式$m^2 + 4m + 4$的值;
(2)求代数式$m^3 + m^2 - 3m + 2020$的值.
(1)求代数式$m^2 + 4m + 4$的值;
(2)求代数式$m^3 + m^2 - 3m + 2020$的值.
答案：
【解析】：
(1)
先对$m^2 + 4m + 4$进行因式分解，根据完全平方公式$a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，可得$m^2 + 4m + 4=(m + 2)^2$。
已知$m=\sqrt{2}-1$，将其代入$(m + 2)^2$可得：
$(\sqrt{2}-1 + 2)^2=(\sqrt{2}+1)^2$
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$，$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2 + 2\sqrt{2}+1=3 + 2\sqrt{2}$。
(2)
已知$m=\sqrt{2}-1$，则$m + 1=\sqrt{2}$，两边同时平方可得$(m + 1)^2=(\sqrt{2})^2$，即$m^2+2m + 1 = 2$，移项得到$m^2+2m=1$。
对$m^3 + m^2 - 3m + 2020$进行变形：
$m^3 + m^2 - 3m + 2020=m^3+2m^2 - m^2 - 3m + 2020=m(m^2+2m)-m^2 - 3m + 2020$
把$m^2+2m = 1$代入上式可得：
$m×1-m^2 - 3m + 2020=-m^2 - 2m + 2020=-(m^2+2m)+2020$
再把$m^2+2m = 1$代入$-(m^2+2m)+2020$可得：
$-1 + 2020=2019$。
【答案】：
(1)$3 + 2\sqrt{2}$；
(2)$2019$
(1)
先对$m^2 + 4m + 4$进行因式分解，根据完全平方公式$a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，可得$m^2 + 4m + 4=(m + 2)^2$。
已知$m=\sqrt{2}-1$，将其代入$(m + 2)^2$可得：
$(\sqrt{2}-1 + 2)^2=(\sqrt{2}+1)^2$
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$，$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2 + 2\sqrt{2}+1=3 + 2\sqrt{2}$。
(2)
已知$m=\sqrt{2}-1$，则$m + 1=\sqrt{2}$，两边同时平方可得$(m + 1)^2=(\sqrt{2})^2$，即$m^2+2m + 1 = 2$，移项得到$m^2+2m=1$。
对$m^3 + m^2 - 3m + 2020$进行变形：
$m^3 + m^2 - 3m + 2020=m^3+2m^2 - m^2 - 3m + 2020=m(m^2+2m)-m^2 - 3m + 2020$
把$m^2+2m = 1$代入上式可得：
$m×1-m^2 - 3m + 2020=-m^2 - 2m + 2020=-(m^2+2m)+2020$
再把$m^2+2m = 1$代入$-(m^2+2m)+2020$可得：
$-1 + 2020=2019$。
【答案】：
(1)$3 + 2\sqrt{2}$；
(2)$2019$
24. (12分)已知$x= \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$,求代数式$x^2+x+1$的值.
答案：
【解析】：
方法一：
把$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$代入$x^{2}+x + 1$得：
$\begin{aligned}x^{2}+x + 1&=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1\\&=\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1\\&=\frac{5 - 2\sqrt{5}+1}{4}+\frac{2(\sqrt{5}-1)}{4}+\frac{4}{4}\\&=\frac{5 - 2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2 + 4}{4}\\&=\frac{(5 + 1-2 + 4)+(-2\sqrt{5}+2\sqrt{5})}{4}\\&=\frac{8}{4}\\&=2\end{aligned}$
方法二：
由$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得$2x=\sqrt{5}-1$，则$2x + 1=\sqrt{5}$。
两边同时平方得$(2x + 1)^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，即$4x^{2}+4x+1 = 5$。
等式两边同时除以$4$得$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。
移项可得$x^{2}+x=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1$。
所以$x^{2}+x + 1=1 + 1=2$。
【答案】：$2$
方法一：
把$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$代入$x^{2}+x + 1$得：
$\begin{aligned}x^{2}+x + 1&=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1\\&=\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1\\&=\frac{5 - 2\sqrt{5}+1}{4}+\frac{2(\sqrt{5}-1)}{4}+\frac{4}{4}\\&=\frac{5 - 2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2 + 4}{4}\\&=\frac{(5 + 1-2 + 4)+(-2\sqrt{5}+2\sqrt{5})}{4}\\&=\frac{8}{4}\\&=2\end{aligned}$
方法二：
由$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得$2x=\sqrt{5}-1$，则$2x + 1=\sqrt{5}$。
两边同时平方得$(2x + 1)^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，即$4x^{2}+4x+1 = 5$。
等式两边同时除以$4$得$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。
移项可得$x^{2}+x=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1$。
所以$x^{2}+x + 1=1 + 1=2$。
【答案】：$2$
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