《2025年暑假作业兰州大学出版社八年级数学人教版》

19. (6分)如图Ⅱ-12,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$,垂足为D,点E是AB的中点,若$CD= DE= 2$,求AB的长.
解：$\because CD = DE = 2$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle CDE$ 中，$CE = \sqrt{CD^2 + DE^2}=$$2\sqrt{2}$。$\because$ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，$\therefore CE = \frac{1}{2}AB$，$\therefore AB = 2CE=$$4\sqrt{2}$。

答案： 解：$\because CD = DE = 2$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle CDE$ 中，$CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = 2\sqrt{2}$。$\because$ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，$\therefore CE = \frac{1}{2}AB$，$\therefore AB = 2CE = 4\sqrt{2}$。

20. (8分)如图Ⅱ-13,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且$DE⊥DF$.求证:$EF^{2}$ $=AE^{2}+BF^{2}$.

答案：
证明：如答图Ⅱ - 5，过点 $A$ 作 $AM // BC$，交 $FD$ 的延长线于点 $M$，连接 $EM$。$\because AM // BC$，$\therefore \angle MAE = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle MAD = \angle B$。$\because AD = BD$，$\angle ADM = \angle BDF$，$\therefore \triangle ADM \cong \triangle BDF$，$\therefore AM = BF$，$MD = DF$。又 $\because DE \perp DF$，$\therefore EF = EM$，$\therefore AE^2 + BF^2 = AE^2 + AM^2 = EM^2 = EF^2$。

21. (8分)如图Ⅱ-14,$△ABC$.
(1)用尺规作图作出A点关于BC的对称点D(保留作图痕迹);
(2)在(1)的情况下,连接AD交BC于点O,若$AB= 5,AC= AD= 8$,求BC的长.$3 + 4\sqrt{3}$

答案：
(1) 略；
(2) 由 $BC$ 垂直平分 $AD$ 可得：$\triangle ABO$，$\triangle AOC$ 是直角三角形，在 $Rt\triangle AOC$ 中，由 $AC = 8$，$AO = 4$ 得 $OC = 4\sqrt{3}$，在 $Rt\triangle ABO$ 中，由 $AB = 5$，$AO = 4$ 得 $OB = 3$，即 $BC = OB + OC = 3 + 4\sqrt{3}$。

22. (8分)如图Ⅱ-15,在四边形ABCD中,$AC⊥BD$,垂足为O,$BC= 3,AB= 4,$$AD= 5$,求DC的长.
解：$\because \begin{cases} OB^2 + OA^2 = 16, ① \\ OB^2 + OC^2 = 9, ② \\ OA^2 + OD^2 = 25, ③ \end{cases}$$\therefore$ ② + ③ - ①：$OC^2 + OD^2 = 25 + 9 - 16 = 18$，$\therefore DC^2 = 18$，$\therefore DC =$$3\sqrt{2}$。

答案： 解：$\because \begin{cases} OB^2 + OA^2 = 16, ① \\ OB^2 + OC^2 = 9, ② \\ OA^2 + OD^2 = 25, ③ \end{cases}$$\therefore$ ② + ③ - ①：$OC^2 + OD^2 = 25 + 9 - 16 = 18$，$\therefore DC^2 = 18$，$\therefore DC = 3\sqrt{2}$。