《2025年暑假作业兰州大学出版社八年级数学人教版》

21. (8分)如图Ⅲ-19,四边形ABCD是正方形,E,F分别是边AB,AD上的一点,且$BF⊥CE$,垂足为G,求证:$AF= BE$.

证明：∵四边形$ ABCD $是正方形，
$ \therefore AB = BC $，$ \angle A = \angle CBE = 90^{\circ} $，∵$ BF \perp CE $，
$ \therefore \angle BCE + \angle CBG = 90^{\circ} $，$ \because \angle ABF + \angle CBG = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle BCE = \angle ABF $。
在$ \triangle BCE $和$ \triangle ABF $中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle BCE = \angle ABF, } \\ { BC = AB, } \\ { \angle CBE = \angle A, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle BCE \cong \triangle ABF ( $ASA$ ) $，$ \therefore BE = AF $。

答案： 证明：
∵四边形$ ABCD $是正方形，
$ \therefore AB = BC $，$ \angle A = \angle CBE = 90^{\circ} $，
∵$ BF \perp CE $，
$ \therefore \angle BCE + \angle CBG = 90^{\circ} $，$ \because \angle ABF + \angle CBG = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle BCE = \angle ABF $。
在$ \triangle BCE $和$ \triangle ABF $中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle BCE = \angle ABF, } \\ { BC = AB, } \\ { \angle CBE = \angle A, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle BCE \cong \triangle ABF ( ASA ) $，$ \therefore BE = AF $。

22. (8分)如图Ⅲ-20,在矩形ABCD中,连接对角线AC,BD,将$\triangle ABC$沿BC方向平移,使点B移到点C,得到$\triangle DCE$.
(1)求证:$\triangle ACD\cong \triangle EDC$;

证明：∵四边形$ ABCD $是矩形，$ \therefore AB = DC $，$ AC = BD $，$ AD = BC $，$ \angle ADC = \angle ABC = 90^{\circ} $。由平移的性质得：$ DE = AC $，$ CE = BC $，$ \angle DCE = \angle ABC = 90^{\circ} $，$ DC = AB $，$ \therefore AD = EC $。在$ \triangle ACD $和$ \triangle EDC $中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AD = EC, } \\ { \angle ADC = \angle DCE, } \\ { CD = DC, } \end{array} \right. $$ \therefore \triangle ACD \cong \triangle EDC ( SAS ) $。
(2)请探究$\triangle BDE$的形状,并说明理由.解：$ \triangle BDE $是等腰三角形，理由如下：$ \because AC = BD $，$ DE = AC $，$ \therefore BD = DE $，$ \therefore \triangle BDE $是等腰三角形。

答案：
(1) 证明：
∵四边形$ ABCD $是矩形，
$ \therefore AB = DC $，$ AC = BD $，$ AD = BC $，$ \angle ADC = \angle ABC = 90^{\circ} $。
由平移的性质得：$ DE = AC $，$ CE = BC $，$ \angle DCE = \angle ABC = 90^{\circ} $，$ DC = AB $，$ \therefore AD = EC $。
在$ \triangle ACD $和$ \triangle EDC $中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AD = EC, } \\ { \angle ADC = \angle DCE, } \\ { CD = DC, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ACD \cong \triangle EDC ( SAS ) $。
(2) 解：$ \triangle BDE $是等腰三角形，理由如下：
$ \because AC = BD $，$ DE = AC $，$ \therefore BD = DE $，
$ \therefore \triangle BDE $是等腰三角形。

23. (8分)如图Ⅲ-21,在菱形ABCD中,点E是边AD上一点,延长AB至点F,使$BF= AE$,连接BE,CF.
求证:$BE= CF$.

证明：∵四边形$ ABCD $是菱形，
$ \therefore AB = BC $，$ AD // BC $，$ \therefore \angle A = \angle CBF $。
又$ \because AE = BF $，$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle BCF $(SAS)，$ \therefore BE = CF $。

答案： 证明：
∵四边形$ ABCD $是菱形，
$ \therefore AB = BC $，$ AD // BC $，$ \therefore \angle A = \angle CBF $。
又$ \because AE = BF $，$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle BCF $，$ \therefore BE = CF $。