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2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社
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24. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2}-4x=y$
原式$=(y+2)(y+6)+4$（第一步）
$=y^{2}+8y+16$（第二步）
$=(y+4)^{2}$（第三步）
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1$进行因式分解.
解：设$x^{2}-4x=y$
原式$=(y+2)(y+6)+4$（第一步）
$=y^{2}+8y+16$（第二步）
$=(y+4)^{2}$（第三步）
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
C
.A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？
不彻底
.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果$(x - 2)^4$
.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1$进行因式分解.
$(x - 1)^4$
答案：
(1) C
(2) 分解不彻底 $(x - 2)^4$
(3) $(x - 1)^4$
(1) C
(2) 分解不彻底 $(x - 2)^4$
(3) $(x - 1)^4$
25. 探索：
$(x-1)(x+1)=x^{2}-1$
$(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1$
$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1$
$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{5}-1$
……
(1)试求$2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1$的值.
(2)判断$2^{2010}+2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+2^{2006}+... +2^{2}+2+1$的值的个位数是几？
$(x-1)(x+1)=x^{2}-1$
$(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1$
$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1$
$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{5}-1$
……
(1)试求$2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1$的值.
127
(2)判断$2^{2010}+2^{2009}+2^{2008}+2^{2007}+2^{2006}+... +2^{2}+2+1$的值的个位数是几？
7
答案：
(1) 127
(2) 7
(1) 127
(2) 7
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