《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

考点2 一次函数解析式的确定
【例2】一次函数$y = kx + b$的自变量$x$的取值范围是$-3 \leq x \leq 6$，相应函数值的取值范围是$-5 \leq y \leq -2$，则这个函数的解析式为$y = \frac{1}{3}x - 4$或$y = -\frac{1}{3}x - 3$。

答案： 【剖析】本题分两种情况讨论：
(1) 当$k ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，则有：当$x = -3$时，$y = -5$；当$x = 6$时，$y = -2$，把它们代入$y = kx + b$中可得$\begin{cases}-5 = -3k + b \\ -2 = 6k + b\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}k = \frac{1}{3} \\ b = -4\end{cases}$
$\therefore$函数解析式为$y = \frac{1}{3}x - 4$。
(2) 当$k ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，则有：当$x = -3$时，$y = -2$；当$x = 6$时，$y = -5$，把它们代入$y = kx + b$中可得$\begin{cases}-2 = -3k + b \\ -5 = 6k + b\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}k = -\frac{1}{3} \\ b = -3\end{cases}$，$\therefore$函数解析式为$y = -\frac{1}{3}x - 3$。$\therefore$函数解析式为$y = \frac{1}{3}x - 4$或$y = -\frac{1}{3}x - 3$。
【解答】$y = \frac{1}{3}x - 4$或$y = -\frac{1}{3}x - 3$。

针对训练2 判断三点$A(3,1)$，$B(0,-2)$，$C(4,2)$是否在同一条直线上。

答案： 解:设过A,B两点的直线的表达式为$y=kx+b$.
由题意可知,
$\left\{\begin{array}{l} 1=3k+b,\\ -2=0+b,\end{array}\right. $$\therefore \left\{\begin{array}{l} k=1,\\ b=-2.\end{array}\right. $
$\therefore$过A,B两点的直线的表达式为$y=x-2$.
$\therefore$当$x=4$时,$y=4-2=2$.
$\therefore$点$C(4,2)$在直线$y=x-2$上.
$\therefore$三点$A(3,1),B(0,-2),C(4,2)$在同一条直线上.

考点3 一次函数的图象与性质
【例3】已知一次函数$y = (3 - k)x - 2k^2 + 18$。
(1) $k$为何值时，它的图象经过原点？$-3$
(2) $k$为何值时，它的图象经过点$(0,-2)$？$\pm\sqrt{10}$
(3) $k$为何值时，它的图象平行于直线$y = -x$？$4$
(4) $k$为何值时，$y$随$x$的增大而减小？$k ＞ 3$

答案： 【剖析】函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与$y$轴的交点在$y$轴上方，说明常数项$b ＞ O$；两函数图象平行，说明一次项系数相等；$y$随$x$的增大而减小，说明一次项系数小于$0$。
【解答】
(1) 图象经过原点，则它是正比例函数。
$\therefore\begin{cases}-2k^2 + 18 = 0 \\ 3 - k \neq 0\end{cases}$，$\therefore k = -3$。
$\therefore$当$k = -3$时，它的图象经过原点。
(2) 该一次函数的图象经过点$(0,-2)$。
$\therefore -2 = -2k^2 + 18$，且$3 - k \neq 0$，
$\therefore k = \pm\sqrt{10}$。
$\therefore$当$k = \pm\sqrt{10}$时，它的图象经过点$(0,-2)$。
(3) 函数图象平行于直线$y = -x$，
$\therefore 3 - k = -1$，
$\therefore k = 4$。
$\therefore$当$k = 4$时，它的图象平行于直线$y = -x$。
(4) $\because y$随$x$的增大而减小，
$\therefore 3 - k ＜ 0$。$\therefore k ＞ 3$。
$\therefore$当$k ＞ 3$时，$y$随$x$的增大而减小。

针对训练3 汽车由重庆驶往相距$400$千米的成都，如果汽车的平均速度是$100$千米/时，那么汽车距成都的路程$s$（千米）与行驶时间$t$（时）的函数关系用图象（如图）表示应为（C）

答案： C