《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

【例2】如图，矩形$ABCD$中，$AC$、$BD$相交于$O$点，$AE$平分$\angle BAD$，交$BC$于$E$点，若$\angle CAE = 15^{\circ}$，求$\angle BOE$。

【剖析】由已知不难得出$\angle OBE = 30^{\circ}$，欲求$\angle BOE$的度数，需解决$BO$与$BE$之间的大小关系。
【解答】如图，在矩形$ABCD$中，
$\because AE$平分$\angle BAD$，$\therefore\angle EAD=\angle EAB = 45^{\circ}$，
在$\triangle ABE$中，$\because\angle BAE = 45^{\circ}$，$\angle ABE = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle AEB = 45^{\circ}$，$\therefore AB = BE$。
$\because\angle EAD = 45^{\circ}$，$\angle EAC = 15^{\circ}$，
$\therefore\angle CAD = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle BAC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
$\because$矩形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于$O$点，$\therefore AO = BO$，$\therefore\triangle ABO$是等边三角形，即$AB = BO$，$\therefore$在$\triangle BEO$中，$BE = BO$。而$\angle EBO = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BOE=\angle BEO=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=$75°。

答案： 【剖析】由已知不难得出$\angle OBE = 30^{\circ}$，欲求$\angle BOE$的度数，需解决$BO$与$BE$之间的大小关系。
【解答】如图，在矩形$ABCD$中，
$\because AE$平分$\angle BAD$，$\therefore\angle EAD=\angle EAB = 45^{\circ}$，
在$\triangle ABE$中，$\because\angle BAE = 45^{\circ}$，$\angle ABE = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle AEB = 45^{\circ}$，$\therefore AB = BE$。
$\because\angle EAD = 45^{\circ}$，$\angle EAC = 15^{\circ}$，
$\therefore\angle CAD = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle BAC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
$\because$矩形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于$O$点，$\therefore AO = BO$，$\therefore\triangle ABO$是等边三角形，即$AB = BO$，$\therefore$在$\triangle BEO$中，$BE = BO$。而$\angle EBO = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BOE=\angle BEO=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$。

针对训练2 如图，矩形$ABCD$中，延长$BC$至$E$点，使$BE = BD$，连结$DE$，若$F$是$DE$的中点，试确定线段$AF$与$CF$的位置关系。

$AF \perp CF$，证明如下，连结$AC$，设它与$BD$交于$O$点，连结$OF$，∵四边形$ABCD$是矩形，∴$AO = OC = BO = OD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$。在$△DBE$中，∵$DO = OB$，$DF = FE$，∴$OF = \frac{1}{2}BE$。又 ∵$BE = BD$，$BD = AC$，∴$OF = \frac{1}{2}AC$。在$△ACF$中，∵$AO = OC$，$OF = \frac{1}{2}AC$，∴$∠AFC = 90^\circ$，∴$AF \perp CF$。

答案： 解：$AF \perp CF$，证明如下，
连结 $AC$，设它与 $BD$ 交于 $O$ 点，连结 $OF$，
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AO = OC = BO = OD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$。在 $△DBE$ 中，
∵
$DO = OB$，$DF = FE$，
∴ $OF = \frac{1}{2}BE$。又
∵ $BE = BD$，$BD = AC$，
∴ $OF = \frac{1}{2}AC$。在 $△ACF$ 中，
∵ $AO = OC$，$OF = \frac{1}{2}AC$，
∴ $∠AFC = 90^\circ$，
∴ $AF \perp CF$。

【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
证明：$\because ABCD$为矩形，$\therefore AD// BC，$$\therefore\angle$1$=\angle$2。$\because EF$为AC的垂直平分线，$\therefore AO =$CO。
在$\triangle AOE$与$\triangle COF$中，
3$=\angle$4$\end{array}\right.\therefore\triangle AOE\cong\triangle COF，$$\therefore AE =$FC。$\because ABCD$为矩形，$\therefore AD// BC，$即AE// FC，$\therefore$四边形AFCE为平行四边形。$\because EF$是AC的垂直平分线，$\therefore EF\perp AC，$$\therefore AFCE$为菱形。

答案： 【剖析】由$EF$为$AC$的垂直平分线有$AE = EC$，$AF = FC$，若证$AFCE$为菱形，只须证$AE = FC$，通过已知$ABCD$为矩形，利用矩形的性质可以证明$\triangle AOE$与$\triangle COF$全等。从而得到$AE = CF$。
【解答】证明：$\because ABCD$为矩形，$\therefore AD// BC$，$\therefore\angle 1=\angle 2$。$\because EF$为$AC$的垂直平分线，$\therefore AO = CO$。
在$\triangle AOE$与$\triangle COF$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle 1=\angle 2\\AO = CO\\\angle 3=\angle 4\end{array}\right.$
$\therefore\triangle AOE\cong\triangle COF$，$\therefore AE = FC$。$\because ABCD$为矩形，$\therefore AD// BC$，即$AE// FC$，$\therefore$四边形$AFCE$为平行四边形。$\because EF$是$AC$的垂直平分线，$\therefore EF\perp AC$，$\therefore AFCE$为菱形。

针对训练3 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle ABC$的角平分线交$AC$于$D$，$AH\perp BC$于$H$，交$BD$于$E$，$DF\perp BC$于$F$。
求证：$AEFD$为菱形。

答案： 证明：
∵在 $Rt△ABC$ 中，$∠BAC = 90^\circ$，
∴ $∠ADB + ∠ABD = 90^\circ$。
∵ $AH \perp BC$ 于 $H$，
∴ $∠2 + ∠DBF = 90^\circ$。
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $∠1 + ∠DBF = 90^\circ$。
∵ $BD$ 平分 $∠ABC$，
∴ $∠ABD = ∠DBF$，$∠ADB = ∠1$，
∴ $AE = AD$。
∵ $BD$ 平分 $∠ABC$，$∠BAC = 90^\circ$，$DF \perp BC$ 于 $F$，
∴ $AD = FD$，$AE = FD$。
∵ $AH \perp BC$ 于 $H$，$DF \perp BC$ 于 $F$，
∴ $AH // DF$，即 $AE // FD$，
∴ $AEFD$ 为平行四边形，
∵ $AE = AD$，
∴ $AEFD$ 为菱形。