《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

【例4】如右图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$平分$\angle ACB$，$DE\perp AC$，$DF\perp BC$，$E$、$F$是垂足，那么四边形$DECF$是正方形吗？说明理由。

四边形$DECF$是正方形，理由是：由$DE\perp AC$，$DF\perp BC$，可知$\angle CED=\angle CFD = 90^{\circ}$，又$\angle ECF = 90^{\circ}$，故四边形$DECF$是矩形。
又$D$是$\angle ACB$角平分线上的点，且$DE$、$DF$为$D$到边$AC$、$BC$距离，故$DE = DF$。
矩形$DECF$因邻边相等所以四边形$DECF$是正方形。

答案： 【剖析】先说明有三个内角是直角的四边形$DECF$是矩形，然后说明两邻边相等的矩形是正方形，必须一步步推理说清楚。本题也可先说它是菱形，再说一个内角是直角的菱形是正方形。
【解答】四边形$DECF$是正方形，理由是：由$DE\perp AC$，$DF\perp BC$，可知$\angle CED=\angle CFD = 90^{\circ}$，又$\angle ECF = 90^{\circ}$，故四边形$DECF$是矩形。
又$D$是$\angle ACB$角平分线上的点，且$DE$、$DF$为$D$到边$AC$、$BC$距离，故$DE = DF$。
矩形$DECF\xrightarrow[DE = DF]{邻边相等}$四边形$DECF$是正方形

针对训练4 如图，已知矩形$ABCD$的各内角平分线$AQ$、$DF$、$BE$、$CH$分别交$BC$、$AD$于点$Q$、$F$、$E$、$H$，试说明它们组成的四边形$MNPO$是正方形。
解：∵四边形$ABCD$为矩形，∴ $AD = BC$，$∠DAB = ∠ABC = 90^\circ$。
∴ $∠1 = ∠2 = \frac{1}{2}∠DAB = 45^\circ$，$∠3 = ∠4 = \frac{1}{2}∠ABC = 45^\circ$，
∴ $∠OMN = ∠AMB = 90^\circ$。
同理$∠MNP = 90^\circ$，$∠NPO = 90^\circ$，∴四边形$MNPO$为矩形。
又 ∵ $∠2 = ∠4$，$∠5 = ∠6$，$AD = BC$，∴ $△AOD \cong △BNC$，∴ $AO = BN$。
又 ∵ $∠1 = ∠3$，∴ $AM = BM$，∴ $AO - AM = BN - BM$，即$MN = MO$。
∴矩形$MNPO$为正方形。

答案： 解：
∵四边形 $ABCD$ 为矩形，
∴ $AD = BC$，$∠DAB = ∠ABC = 90^\circ$。
∴ $∠1 = ∠2 = \frac{1}{2}∠DAB = 45^\circ$，$∠3 = ∠4 = \frac{1}{2}∠ABC = 45^\circ$，
∴ $∠OMN = ∠AMB = 90^\circ$。
同理 $∠MNP = 90^\circ$，$∠NPO = 90^\circ$，
∴四边形 $MNPO$ 为矩形。
又
∵ $∠2 = ∠4$，$∠5 = ∠6$，$AD = BC$，
∴ $△AOD \cong △BNC$，
∴ $AO = BN$。
又
∵ $∠1 = ∠3$，
∴ $AM = BM$，
∴ $AO - AM = BN - BM$，即 $MN = MO$。
∴矩形 $MNPO$ 为正方形。

1. 对角线互相垂直平分的四边形是（C）
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 梯形

答案： C

2. 平行四边形$ABCD$的周长为$32$，$5AB = 3BC$，则对角线$AC$的取值范围为（D）
A. $6\lt AC\lt10$
B. $6\lt AC\lt16$
C. $10\lt AC\lt16$
D. $4\lt AC\lt16$

答案： D