《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

26. 如图，$ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB=90^{\circ} $，$ AC=BC $，$ D、E $ 在 $ AB $ 上，且 $ \angle DCE=45^{\circ} $。
求证：以 $ AD、DE、EB $ 为边可构成直角三角形。

答案：
证明:如答图，过点 $ B $ 作 $ BF \perp AB $，取 $ BF = AD $，连接 $ EF $、$ CF $，因为 $ AC = BC $，所以 $ \angle CAB=\angle CBA = 45^{\circ} $，所以 $ \angle CBF=90^{\circ}-\angle CBA=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ} $，因为 $ AC = BC $，$ \angle A=\angle CBF = 45^{\circ} $，所以 $ \triangle CAD \cong \triangle CBF $，所以 $ \angle ACD=\angle BCF $，$ CD = CF $ ①，又因为 $ AD = BF $，$ \angle ACD+\angle ECB=90^{\circ}-\angle DCE=45^{\circ} $，所以 $ \angle ECF=\angle ECB+\angle BCF=45^{\circ}=\angle DCE $ ②，$ CE = CE $ ③，由 ① ② ③ 得 $ \triangle CDE \cong \triangle CFE $，所以 $ DE = EF $。在 $ Rt\triangle EBF $ 中，$ EF^{2}=BF^{2}+BE^{2} $，所以 $ DE^{2}=AD^{2}+BE^{2} $，所以以 $ AD $、$ DE $、$ EB $ 为边可构成直角三角形。

1. (安顺) 如图，有两棵树，一棵高 $ 10 \text{m} $，另一棵高 $ 4 \text{m} $，两树相距 $ 8 \text{m} $。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 （B）
A. $ 8 \text{m} $ B. $ 10 \text{m} $ C. $ 12 \text{m} $ D. $ 14 \text{m} $

答案： B

2. (哈尔滨) 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB=2\sqrt{2} $，$ BC=1 $，$ \angle ABC=45^{\circ} $，以 $ AB $ 为一边作等腰直角三角形 $ ABD $，使 $ \angle ABD=90^{\circ} $，连接 $ CD $，则线段 $ CD $ 的长为 $ \sqrt{5} $ 或 $ \sqrt{13} $。

答案： $ \sqrt{5} $ 或 $ \sqrt{13} $

3. (张家界) 如图，$ OP=1 $，过 $ P $ 作 $ PP_{1} \perp OP $ 且 $ PP_{1}=1 $，得 $ OP_{1}=\sqrt{2} $；再过 $ P_{1} $ 作 $ P_{1}P_{2} \perp OP_{1} $ 且 $ P_{1}P_{2}=1 $，得 $ OP_{2}=\sqrt{3} $；又过 $ P_{2} $ 作 $ P_{2}P_{3} \perp OP_{2} $ 且 $ P_{2}P_{3}=1 $，得 $ OP_{3}=2 \cdots \cdots $ 依此法继续作下去，得 $ OP_{2012}= $ $\sqrt{2013}$。

答案： $ \sqrt{2013} $

4. (沈阳) 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB=BC $，$ BE \perp AC $ 于点 $ E $，$ AD \perp BC $ 于点 $ D $，$ \angle BAD=45^{\circ} $，$ AD $ 与 $ BE $ 交于点 $ F $，连接 $ CF $。
(1) 求证：$ BF=2AE $；
(2) 若 $ CD=\sqrt{2} $，求 $ AD $ 的长。

(1)证明: $ \because AD \perp BC $，$ \angle BAD=45^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABD=\angle BAD=45^{\circ} $。$ \therefore AD=BD $。
$ \because AD \perp BC $，$ BE \perp AC $，
$ \therefore \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ} $，$ \angle CBE+\angle ACD=90^{\circ} $。
$ \therefore \angle CAD=\angle CBE $。
又 $ \because \angle CDA=\angle FDB=90^{\circ} $，
$ \therefore \triangle ADC \cong \triangle BDF $。$ \therefore AC=BF $。
$ \because AB=BC $，$ BE \perp AC $，
$ \therefore AE=EC $，即 $ AC=2AE $。$ \therefore BF=2AE $。
(2)解: $ \because \triangle ADC \cong \triangle BDF $，$ \therefore DF=CD=\sqrt{2} $。
$ \therefore $ 在 $ Rt\triangle CDF $ 中，$ CF=\sqrt{DF^{2}+CD^{2}}=2 $。
$ \because BE \perp AC $，$ AE=EC $，$ \therefore AF=FC=2 $。
$ \therefore AD=AF+DF=2+\sqrt{2} $。$ \therefore AD $ 的长为$ 2+\sqrt{2} $。

答案：
(1)证明: $ \because AD \perp BC $，$ \angle BAD=45^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABD=\angle BAD=45^{\circ} $。$ \therefore AD=BD $。
$ \because AD \perp BC $，$ BE \perp AC $，
$ \therefore \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ} $，$ \angle CBE+\angle ACD=90^{\circ} $。
$ \therefore \angle CAD=\angle CBE $。
又 $ \because \angle CDA=\angle FDB=90^{\circ} $，
$ \therefore \triangle ADC \cong \triangle BDF $。$ \therefore AC=BF $。
$ \because AB=BC $，$ BE \perp AC $，
$ \therefore AE=EC $，即 $ AC=2AE $。$ \therefore BF=2AE $。
(2)解: $ \because \triangle ADC \cong \triangle BDF $，$ \therefore DF=CD=\sqrt{2} $。
$ \therefore $ 在 $ Rt\triangle CDF $ 中，$ CF=\sqrt{DF^{2}+CD^{2}}=2 $。
$ \because BE \perp AC $，$ AE=EC $，$ \therefore AF=FC=2 $。
$ \therefore AD=AF+DF=2+\sqrt{2} $。