《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

20. 观察下列算式：$3^{2}-1^{2}=8$，$5^{2}-3^{2}=16$，$7^{2}-5^{2}=24$，$9^{2}-7^{2}=32$，…，请将你发现的规律用式子表示出来：$(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 8n$.

答案： $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 8n$

21. (1)计算：
①$(-3xy^{2})^{3}\cdot (\frac {1}{6}x^{3}y)^{2}$
②$4a^{2}x^{2}\cdot (-\frac {2}{5}a^{4}x^{3}y^{3})÷(-\frac {1}{2}a^{5}xy^{2})$
(2)因式分解：
①$x^{2}+y^{2}-1-2xy$
②$(a-b)(3a+b)^{2}+(a+3b)^{2}(b-a)$
(3)解方程：
$(x+3)(2x-5)-(2x+1)(x-8)=41$

答案：
(1) ① $-\frac{3}{4}x^9y^8$ ② $\frac{16}{5}ax^4y$
(2) ① $(x - y + 1)(x - y - 1)$ ② $8(a - b)^2(a + b)$
(3) $x = 3$

22. 已知$x^{2}+x-1=0$，求$x^{3}+2x^{2}+3$的值.

答案： 4

23. 已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边，且满足关系式$a^{2}+c^{2}=2ab+2bc-2b^{2}$，试说明$\triangle ABC$是等边三角形.

答案： 解：$\because a^2 + c^2 = 2ab + 2bc - 2b^2$，
$\therefore a^2 + c^2 + 2b^2 - 2ab - 2bc = 0$。
$\therefore (a^2 + b^2 - 2ab) + (c^2 + b^2 - 2bc) = 0$。
$\therefore (a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$。
由平方的非负性可知，
$\begin{cases}a - b = 0, \\ b - c = 0,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a = b, \\ b = c\end{cases}$
$\therefore a = b = c$。$\therefore \triangle ABC$ 是等边三角形。