《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

考点4 用一次函数解决问题
【例4】某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交$50$元月租费，然后每通话$1$分，再付电话费$0.4$元；“神州行”使用者不交月租费，每通话$1$分，付话费$0.6$元（均指市内通话），若$1$个月内通话$x$分，两种通讯方式的费用分别为$y_1$元和$y_2$元。
(1) 写出$y_1$，$y_2$与$x$之间的关系；
(2) 一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
(3) 某人预计一个月内使用话费$200$元，则选择哪种通讯方式较合算？

答案： 【剖析】这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论。
【解答】
(1) $y_1 = 50 + 0.4x$（其中$x \geq 0$，且$x$是整数），$y_2 = 0.6x$（其中$x \geq 0$，且$x$是整数）；
(2) $\because$两种通讯费用相同，$\therefore y_1 = y_2$，即$50 + 0.4x = 0.6x$。$\therefore x = 250$。
$\therefore$一个月内通话$250$分时，两种通讯方式的费用相同。
(3) 当$y_1 = 200$时，有$200 = 50 + 0.4x$，
$\therefore x = 375$（分）。
$\therefore$“全球通”可通话$375$分。
当$y_2 = 200$时，有$200 = 0.6x$，$x = 333\frac{1}{3}$（分），
$\because 375 ＞ 333\frac{1}{3}$，$\therefore$选用“全球通”合算。

针对训练4 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者。果园基地对购买量在$3000$千克以上（含$3000$千克）的有两种销售方案。甲方案：每千克$9$元，由基地送货上门；乙方案：每千克$8$元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为$5000$元。
(1) 分别写出该公司两种购买方案的付款$y$（元）与所购买的水果量$x$（千克）之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围；
(2) 当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由。

答案： 解:
(1)甲方案的付款$y_{甲}$(元)与所购买的水果量$x$(千克)之间的函数关系式为$y_{甲}=9x(x≥3000)$;
乙方案的付款$y_{乙}$(元)与所购买的水果量$x$(千克)之间的函数关系式为$y_{乙}=8x+5000(x≥3000)$.
(2)①当$y_{甲}=y_{乙}$时,有$9x=8x+5000$,
$\therefore x=5000$.
$\therefore$当$x=5000$时,两种方案付款一样,按哪种方案都可以.
②当$y_{甲}\lt y_{乙}$时,有$9x＜8x+5000$,
$\therefore x＜5000$.
又$\because x≥3000$,
$\therefore$当$3000≤x＜5000$时,甲方案付款少,故采用甲方案.
③当$y_{甲}＞y_{乙}$时,有$9x＞8x+5000$,
$\therefore x＞5000$.
$\therefore$当$x＞5000$时,乙方案付款少,故采用乙方案.

1. 下列函数中，自变量$x$的取值范围是$x \geq 2$的是(D)
A. $y = \sqrt{2 - x}$
B. $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$
C. $y = \sqrt{4 - x^2}$
D. $y = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x - 2}$

答案： D

2. 下列函数中，$y$是$x$的正比例函数的是(B)
A. $y = 2x - 1$
B. $y = \frac{x}{3}$
C. $y = 2x^2$
D. $y = -2x + 1$

答案： B