《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

21. 如图,$E、F$分别为线段$AC$上两个动点,且$DE⊥AC$于$E,BF⊥AC$于$F$,若$AB=CD,AF=CE,BD$交$AC$于$M$. 说明:$MB=MD,ME=MF$.
解：因为$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，所以$\angle DEC=\angle BFA=90^{\circ}$。
又因为$AB=CD$，$AF=CE$，所以$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$，
所以$BF=DE$。
又因为$\angle BFM=\angle DEM$，$\angle BMF=\angle DME$，
所以$\triangle BMF\cong\triangle DME$，所以$MB=MD$，$MF=ME$。

答案： 解：因为$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，所以$\angle DEC=\angle BFA=90^{\circ}$。
又因为$AB=CD$，$AF=CE$，所以$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$，
所以$BF=DE$。
又因为$\angle BFM=\angle DEM$，$\angle BMF=\angle DME$，
所以$\triangle BMF\cong\triangle DME$，所以$MB=MD$，$MF=ME$。

22. 如图,$AC=BC,AD=BD,M、N$分别是$AC、BC$的中点,则$DM=DN$,为什么?
解：因为$AC=BC$，$CD=CD$，$AD=BD$，所以$\triangle ACD\cong\triangle BCD$(SSS)，所以$\angle ACD=\angle BCD$。因为$M$、$N$分别是$AC$、$BC$的中点，$AC=BC$，所以$CM=CN$。在$\triangle DCM$和$\triangle DCN$中，$\left\{\begin{array}{l} CD=CD\\ \angle MCD=\angle NCD\\ CM=CN\end{array}\right.$所以$\triangle DCM\cong\triangle DCN$(SAS)，所以$DM=DN$。

答案： 解：因为$AC=BC$，$CD=CD$，$AD=BD$，
所以$\triangle ACD\cong\triangle BCD(SSS)$，
所以$\angle ACD=\angle BCD$。因为$M$、$N$分别是$AC$、$BC$的中点，$AC=BC$，所以$CM=CN$。在$\triangle DCM$和$\triangle DCN$中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=CD\\ \angle MCD=\angle NCD\\ CM=CN\end{array}\right.$
所以$\triangle DCM\cong\triangle DCN(SAS)$，所以$DM=DN$。

23. 阅读理解题.
初二(1)班同学到野外上数学活动课,为测量池塘两端$A、B$的距离,设计了如下方案:
(Ⅰ)如图,先在平地上取一个可直接到达$A、B$
的点$C$,连接$AC、BC$,并分别延长$AC$至$D$,延
长$BC$至$E$,使$DC=AC,EC=BC$,最后测出
$DE$的距离即为$AB$的长;
(Ⅱ)如图,先过$B$点作$AB$的垂线$BF$,再在$BF$
上取$C、D$两点使$BC=CD$,接着过$D$作$BD$的
垂线$DE$,交$AC$的延长线于$E$,则测出$DE$的长
即为$AB$的距离.阅读后回答下列问题:
(1)方案(Ⅰ)是否可行？请说明理由.
方案(Ⅰ)可行，$\because\angle ACB=\angle ECD$，$AC=CD$，$BC=CE$，$\therefore\triangle ACB\cong\triangle ECD$，$\therefore DE=AB$，$\therefore$方案(Ⅰ)可行
(2)方案(Ⅱ)是否可行？请说明理由.
方案(Ⅱ)可行，$\because\angle ACB=\angle ECD$，$\angle ABD=\angle BDE$，$BC=CD$，$\therefore\triangle ACB\cong\triangle ECD$，$DE=AB$，$\therefore$方案(Ⅱ)可行
(3)方案(Ⅱ)中作$BF⊥AB,ED⊥BF$的目的是
构造三角形全等;
若仅满足$∠ABD=∠BDE≠90^{\circ }$,方案(Ⅱ)是否
成立？
不一定成立.
$\because A$，$C$，$E$不一定共线。$\therefore\triangle ACB$不一定全等$\triangle ECD$，$DE$不一定等于$AB$。

答案：
(1)方案(Ⅰ)可行，$\because\angle ACB=\angle ECD$，$AC=CD$，$BC=CE$，$\therefore\triangle ACB\cong\triangle ECD$，$\therefore DE=AB$，$\therefore$方案(Ⅰ)可行
(2)方案(Ⅱ)可行，$\because\angle ACB=\angle ECD$，$\angle ABD=\angle BDE$，$BC=CD$，$\therefore\triangle ACB\cong\triangle ECD$，$DE=AB$，$\therefore$方案(Ⅱ)可行
(3)方案(Ⅱ)中作$BF\perp AB$，$ED\perp BF$的目的是构造三角形全等，若仅满足$\angle ABD=\angle BDE\neq90^{\circ}$，方案(Ⅱ)不一定成立。
$\because A$，$C$，$E$不一定共线。$\therefore\triangle ACB$不一定全等$\triangle ECD$，$DE$不一定等于$AB$。