《2025年假期总动员年度系统复习八年级数学人教版四川师范大学出版社》

【例2】已知点$P(x,y)$在第三象限，试化简$\sqrt{(x^2 + y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2}$。

答案： 【剖析】根据$\sqrt{a^2} = |a|$，利用已知条件确定$a$的符号。
【解答】$\sqrt{(x^2 + y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2}$
$=\sqrt{x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - (x^4 - 2x^2y^2 + y^4)}$
$=\sqrt{4x^2y^2} = \sqrt{(2xy)^2} = |2xy|$。
$\because P(x,y)$在第三象限，
$\therefore x＜0,y＜0,\therefore xy＞0$。
$\therefore \sqrt{(x^2 + y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2} = |2xy| = 2xy$。

针对训练2 已知$3 ＜ x ＜ 4$，试化简：$\sqrt{x^2 - 8x + 16} + |3 - x|$。

答案：
∵3<x<4，
∴x-4<0,3-x<0
$∴\sqrt{x²-8x+16}+|3-x|=\sqrt{(x-4)²}+|3-x|=4-x+x-3=1$

【例3】下列根式中，属于最简二次根式的是（B）
A. $\sqrt{2m^2}$
B. $\sqrt{a^2 + 1}$
C. $\sqrt{16m}$
D. $\sqrt{\frac{1}{a}}$

答案： 【剖析】因为$\sqrt{2m^2}$和$\sqrt{16m}$中均含有能开方的因数或因式，因此它们都不是最简二次根式；$\sqrt{\frac{1}{a}}$的被开方数中含有分母，也不是最简二次根式；只有$\sqrt{a^2 + 1}$是最简二次根式，所以本题应选B。
【解答】B

针对训练3 下列二次根式是最简二次根式的是（C）
A. $\sqrt{\frac{1}{2}}$
B. $\sqrt{4}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{8}$

答案： C

【例4】甲、乙两同学对代数式$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}(a＞0,b＞0)$分别作了如下变形：
甲：$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a - b)(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
乙：$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
关于这两种变形说法正确的是（D）
A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确

答案： 【剖析】当$a = b$时，甲的解法相当于分子与分母都乘以0，违反了分式的性质，这是分母有理化的典型错误。
【解答】D

针对训练4 已知$a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$，$b = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$，求$\sqrt{a^2 + b^2 + 7}$的值。
解：分母有理化，得 $a = \sqrt{5} + 2, b = \sqrt{5} - 2. \therefore$ 原式 $= \sqrt{(a - b)^2 + 2ab + 7} =$5.

答案： 解：分母有理化，得 $a = \sqrt{5} + 2, b = \sqrt{5} - 2. \therefore$ 原式 $= \sqrt{(a - b)^2 + 2ab + 7} = 5.$