《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

2. 如图13，在菱形ABCD中，E，O，F三点分别是AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF为正方形？请说明理由.

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC = CD = DA$，$\angle B=\angle D$。
又因为$E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AD$，则$BE = DF$。
在$\triangle BCE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}BE = DF\\\angle B=\angle D\\BC = DC\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BCE\cong\triangle DCF$。
(2) 当$AB\perp BC$时，四边形$AEOF$为正方形。
理由如下：
因为$E$，$O$，$F$分别是$AB$，$AC$，$AD$的中点，所以$OE// BC$，$OF// CD$，$OE=\frac{1}{2}BC$，$OF=\frac{1}{2}CD$，$AE=\frac{1}{2}AB$，$AF=\frac{1}{2}AD$。
又因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC = CD = DA$，则$OE = OF = AE = AF$，所以四边形$AEOF$是菱形。
因为$AB\perp BC$，$OE// BC$，所以$OE\perp AB$，即$\angle AEO = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的菱形是正方形，所以四边形$AEOF$为正方形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 当$AB\perp BC$时，四边形$AEOF$为正方形，理由见上述解析。