《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

3. 如图13，在四边形ABCD中，AB//DC，∠B=90°，F为DC边上一点，且FC=AB，E为AD边上一点，EC交AF于点G。
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若ED=EC，求证：EA=EG。

答案： （1）因为$AB// DC$，$FC = AB$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCF$是平行四边形。
又因为$\angle B = 90^{\circ}$，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$ABCF$是矩形。
（2）因为四边形$ABCF$是矩形，所以$\angle AFC = 90^{\circ}$，则$\angle DAF=90^{\circ}-\angle D$，$\angle EGC = 90^{\circ}-\angle ECD$。
因为$ED = EC$，所以$\angle D=\angle ECD$。
所以$\angle DAF=\angle EGC$。
又因为$\angle EGC=\angle AGE$（对顶角相等），所以$\angle DAF=\angle AGE$。
根据等角对等边，所以$EA = EG$。

4. 如图14，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接BD，DE，EC。DE交BC于点O。
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形。

答案： 【解析】：
（1）
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，$AB// CD$。
又因为$AB = BE$，所以$BE = DC$。
由于$AB// CD$，$AB = BE$，所以$BE// DC$。
那么四边形$BECD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），所以$BD = EC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle BEC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BE\\AD = BC\\BD = EC\end{array}\right.$，根据$SSS$（边 - 边 - 边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle BEC$。
（2）
由（1）知四边形$BECD$是平行四边形，所以$OD = OE$，$OC = OB$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle A=\angle BCD$。
又因为$\angle BOD = 2\angle A$，$\angle BOD=\angle OCD+\angle ODC$（三角形外角等于不相邻两个内角和），且$\angle OCD=\angle ODC$（等角对等边，由$OC = OB$，$OD = OE$，$AB// CD$可推得），所以$\angle OCD=\angle A$。
所以$OC = OD$（等角对等边）。
因为$OC = OB$，$OD = OE$，所以$OC + OB=OD + OE$，即$BC = ED$。
对角线相等的平行四边形是矩形，所以四边形$BECD$是矩形。
【答案】：
（1）$\triangle ABD\cong\triangle BEC$得证。
（2）四边形$BECD$是矩形得证。