《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

1. 某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做则要延期$ 3 $天完成. 现两队先合作$ 2 $天后，再由乙队单独做，也正好按期完成. 求规定的期限是多少天.

答案： 【解析】：设规定的期限是$x$天，则甲队单独完成需要$x$天，乙队单独完成需要$(x + 3)$天。
把工作总量看成单位“$1$”，根据工作效率$=$工作总量$\div$工作时间，可得甲队的工作效率是$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率是$\frac{1}{x + 3}$。
两队先合作$2$天，根据工作量$=$工作效率$\times$工作时间，可知两队合作$2$天的工作量为$2\times(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})$；
再由乙队单独做$(x - 2)$天，乙队单独做的工作量为$(x - 2)\times\frac{1}{x + 3}$。
根据两队先合作$2$天后，再由乙队单独做，正好按期完成，即总的工作量为单位“$1$”，可列方程：
$2\times(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})+(x - 2)\times\frac{1}{x + 3}=1$
去括号得：$\frac{2}{x}+\frac{2}{x + 3}+\frac{x - 2}{x + 3}=1$
合并同类项得：$\frac{2}{x}+\frac{2 + x - 2}{x + 3}=1$，即$\frac{2}{x}+\frac{x}{x + 3}=1$
方程两边同时乘以$x(x + 3)$去分母得：
$2(x + 3)+x\cdot x=x(x + 3)$
去括号得：$2x+6+x^{2}=x^{2}+3x$
移项得：$x^{2}-x^{2}+2x - 3x=-6$
合并同类项得：$-x=-6$
解得：$x = 6$
经检验，当$x = 6$时，$x(x + 3)=6\times(6 + 3)=54\neq0$，所以$x = 6$是原方程的解，且符合题意。
【答案】：$6$天

2. 某文化用品商店用$ 2 000 $元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，于是商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的$ 3 $倍，但单价贵了$ 4 $元，结果第二批用了$ 6 300 $元.
(1)求第一批购进书包的单价；
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是$ 120 $元，全部售出后，商店共盈利多少元？

答案： 【解析】：
(1)设第一批购进书包的单价是$x$元，则第二批购进书包的单价是$(x + 4)$元。
已知第一批用$2000$元购进，第二批用$6300$元购进，且第二批所购数量是第一批购进数量的$3$倍。
根据数量$=$总价$\div$单价，可列方程：$\dfrac{2000}{x}\times3=\dfrac{6300}{x + 4}$
方程两边同时乘以$x(x + 4)$去分母得：
$2000\times3\times(x + 4)=6300x$
$6000x+24000 = 6300x$
移项得：$6300x-6000x=24000$
$300x=24000$
解得$x = 80$。
经检验，当$x = 80$时，$x(x + 4)=80\times(80 + 4)=80\times84\neq0$，所以$x = 80$是原方程的解，且符合题意。
即第一批购进书包的单价是$80$元。
(2)第一批购进的数量为$2000\div80 = 25$（个）
第二批购进的数量为$25\times3 = 75$（个）
两批书包的总数量为$25 + 75=100$（个）
两批书包的总售价为$120\times100 = 12000$（元）
两批书包的总成本为$2000 + 6300=8300$（元）
则盈利为$12000 - 8300 = 3700$（元）
【答案】：
(1)$80$元；
(2)$3700$元