《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

5. 已知非零实数x，y满足$y=\frac {x}{x+1}$，则$\frac {x-y+3xy}{xy}$的值等于____。

答案： 4

三、计算。
1. $(ab-b^{2})÷\frac {a^{2}-b^{2}}{a+b}$；
2. $(\frac {x}{x-2}-\frac {x}{x+2})÷\frac {4x}{x-2}$；
3. $\frac {x^{2}-y^{2}}{xy}-\frac {xy-y^{2}}{xy-x^{2}}$；
4. $\frac {4}{x^{2}-4}+\frac {2}{x+2}-\frac {1}{x+2}$。

答案： 【解析】：
1. 首先对$(ab - b^{2})\div\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$进行化简：
对$ab - b^{2}$提取公因式$b$，得到$b(a - b)$；
对$a^{2}-b^{2}$利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则原式变为$b(a - b)\div\frac{(a + b)(a - b)}{a + b}$；
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即$b(a - b)\times\frac{a + b}{(a + b)(a - b)}$；
约分可得$b$。
2. 对于$(\frac{x}{x - 2}-\frac{x}{x + 2})\div\frac{4x}{x - 2}$：
先计算括号内的式子$\frac{x}{x - 2}-\frac{x}{x + 2}$，通分得到$\frac{x(x + 2)-x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$；
展开分子$x(x + 2)-x(x - 2)=x^{2}+2x - x^{2}+2x = 4x$，则括号内结果为$\frac{4x}{(x - 2)(x + 2)}$；
再根据除法运算法则，$\frac{4x}{(x - 2)(x + 2)}\times\frac{x - 2}{4x}$；
约分可得$\frac{1}{x + 2}$。
3. 对于$\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}-\frac{xy - y^{2}}{xy - x^{2}}$：
对$\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}$，利用平方差公式$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，式子为$\frac{(x + y)(x - y)}{xy}$；
对$\frac{xy - y^{2}}{xy - x^{2}}$，分子提取公因式$y$得$y(x - y)$，分母提取公因式$x$得$x(y - x)=-x(x - y)$，则$\frac{xy - y^{2}}{xy - x^{2}}=\frac{y(x - y)}{-x(x - y)}=-\frac{y}{x}$；
所以原式$\frac{(x + y)(x - y)}{xy}+\frac{y}{x}$，通分$\frac{(x + y)(x - y)}{xy}+\frac{y^{2}}{xy}$；
展开分子$(x + y)(x - y)+y^{2}=x^{2}-y^{2}+y^{2}=x^{2}$，则结果为$\frac{x^{2}}{xy}=\frac{x}{y}$。
4. 对于$\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{2}{x + 2}-\frac{1}{x - 2}$：
对$x^{2}-4$利用平方差公式得$(x + 2)(x - 2)$，则原式$\frac{4}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{2}{x + 2}-\frac{1}{x - 2}$；
通分，$\frac{4}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}-\frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}$；
分子相加$4+2(x - 2)-(x + 2)=4 + 2x-4 - x - 2=x - 2$；
则$\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}$，约分可得$\frac{1}{x + 2}$。
【答案】：
1. $b$
2. $\frac{1}{x + 2}$
3. $\frac{x}{y}$
4. $\frac{1}{x + 2}$

四、先化简$\frac {x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x}-\frac {1-x^{2}}{x+1}$，再选取一个使原式有意义的数代入求值。

答案： 【解析】：
本题可先分别对两个分式进行化简，再进行减法运算，最后选取合适的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简$\frac {x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x}$。**
对分子$x^{3}-x^{2}$提取公因式$x^{2}$可得$x^{2}(x - 1)$；对分母$x^{2}-x$提取公因式$x$可得$x(x - 1)$。
则$\frac {x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x}=\frac{x^{2}(x - 1)}{x(x - 1)}$，因为$x\neq0$且$x\neq1$（分母不能为$0$），所以可约去公因式$x(x - 1)$，得到$\frac {x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x}=x$。
- **步骤二：化简$\frac {1 - x^{2}}{x + 1}$。**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对分子$1 - x^{2}$进行因式分解可得$(1 + x)(1 - x)$。
则$\frac {1 - x^{2}}{x + 1}=\frac{(1 + x)(1 - x)}{x + 1}$，因为$x\neq -1$（分母不能为$0$），所以可约去公因式$x + 1$，得到$\frac {1 - x^{2}}{x + 1}=1 - x$。
- **步骤三：计算化简后的式子。**
将上述化简结果代入原式可得：
$\frac {x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x}-\frac {1 - x^{2}}{x + 1}=x - (1 - x)=x - 1 + x = 2x - 1$。
- **步骤四：选取合适的值代入求值。**
因为原式分母不能为$0$，即$x\neq0$，$x\neq1$，$x\neq -1$，可选取$x = 2$代入$2x - 1$，得到$2\times2 - 1 = 3$。
【答案】：化简结果为$2x - 1$，当$x = 2$时，值为$3$。