《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

五、已知$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}=3$，求代数式$\frac {2x+3xy-2y}{x-xy-y}$的值。

答案： 【解析】：
本题可先对已知条件$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形，然后将变形后的式子代入所求代数式进行化简求值。
- **步骤一：对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形。**
对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$进行通分，根据分式通分的规则，先找到两个分式分母$x$和$y$的最简公分母$xy$，再将两个分式化为分母是$xy$的分式，可得：
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=\frac{y}{xy} - \frac{x}{xy}=\frac{y - x}{xy}$
已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，则$\frac{y - x}{xy} = 3$，即$y - x = 3xy$，进一步变形可得$x - y = -3xy$。
- **步骤二：将$x - y = -3xy$代入$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - xy - y}$进行化简求值。**
对$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - xy - y}$的分子分母进行变形，将分子$2x + 3xy - 2y$变形为$2(x - y) + 3xy$，分母$x - xy - y$变形为$(x - y) - xy$，则原式可化为：
$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - xy}$
把$x - y = -3xy$代入上式可得：
$\frac{2\times(-3xy) + 3xy}{-3xy - xy}=\frac{-6xy + 3xy}{-4xy}=\frac{-3xy}{-4xy}$
因为$xy\neq0$（若$xy = 0$，则$\frac{1}{x}$或$\frac{1}{y}$无意义），所以可将分子分母同时约去$xy$，得到$\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$。
【答案】：$\frac{3}{4}$

六、先化简，再求值：$(\frac {x}{x^{2}+x}-1)÷\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}$，其中x的值从不等式组$\left\{\begin{array}{l} -x≤1,\\ 2x-1＜4\end{array}\right. $的整数解中选取。

答案： 【解析】：
1. 首先化简$(\frac{x}{x^{2}+x}-1)\div\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$：
对$\frac{x}{x^{2}+x}$进行化简，$\frac{x}{x^{2}+x}=\frac{x}{x(x + 1)}=\frac{1}{x + 1}$。
则$\frac{x}{x^{2}+x}-1=\frac{1}{x + 1}-1=\frac{1-(x + 1)}{x + 1}=\frac{1 - x - 1}{x + 1}=\frac{-x}{x + 1}$。
对于$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$和完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^{2}}=\frac{x - 1}{x + 1}$。
所以$(\frac{x}{x^{2}+x}-1)\div\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}=\frac{-x}{x + 1}\div\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{-x}{x + 1}\times\frac{x + 1}{x - 1}=-\frac{x}{x - 1}$。
2. 然后解不等式组$\left\{\begin{array}{l}-x\leqslant1\\2x - 1\lt4\end{array}\right.$：
解不等式$-x\leqslant1$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x\geqslant - 1$。
解不等式$2x-1\lt4$，移项可得$2x\lt4 + 1$，即$2x\lt5$，两边同时除以$2$，得$x\lt\frac{5}{2}=2.5$。
所以不等式组的解集为$-1\leqslant x\lt2.5$，其整数解为$-1$，$0$，$1$，$2$。
3. 最后根据原式分母不能为$0$确定$x$的值：
因为原式分母$x^{2}+x=x(x + 1)\neq0$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)\neq0$，所以$x\neq0$，$x\neq\pm1$。
则$x$只能取$2$。
4. 把$x = 2$代入$-\frac{x}{x - 1}$求值：
当$x = 2$时，$-\frac{x}{x - 1}=-\frac{2}{2 - 1}=-2$。
【答案】：化简结果为$-\frac{x}{x - 1}$，值为$-2$。