《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

4. 如图9，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为点E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N。
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
(2)已知DE = 4，FN = 3，求BN的长。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。
又因为$AM\perp BD$，$CN\perp BD$，所以$AM// CN$。
由$AB// CD$，$AM// CN$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形$CMAN$是平行四边形。
2. （2）
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$\angle ADE=\angle CBF$。
又因为$\angle AED=\angle CFB = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CBF(AAS)$。
则$DE = BF$。
已知$DE = 4$，所以$BF = 4$。
在$Rt\triangle BFN$中，根据勾股定理$BN=\sqrt{BF^{2}+FN^{2}}$。
把$BF = 4$，$FN = 3$代入$BN=\sqrt{BF^{2}+FN^{2}}$，得$BN=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。

如图10，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F。
(1)求证：△ADE ≌ △FCE；
(2)若∠BAF = 90°，BC = 5，EF = 3，求CD的长。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$。
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle DAE=\angle F$，$\angle D=\angle ECF$。
又因为$E$是$CD$的中点，所以$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle FCE$中：
$\begin{cases}\angle DAE=\angle F\\\angle D=\angle ECF\\DE = CE\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADE\cong\triangle FCE$。
2. （2）
因为$\triangle ADE\cong\triangle FCE$，所以$AE = EF = 3$。
所以$AF=AE + EF=3 + 3 = 6$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 5$。
又因为$\angle BAF = 90^{\circ}$，根据勾股定理$BF=\sqrt{AB^{2}+AF^{2}}$，且$AD// BC$，$\triangle ADE\cong\triangle FCE$，所以$AB = CD$，$BF = 2BC$（由$\triangle ADE\cong\triangle FCE$得$AD = CF$，$BF=BC + CF=BC + AD$，$AD = BC$）。
已知$BC = 5$，则$BF = 10$，$AF = 6$。
在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{BF^{2}-AF^{2}}$，即$AB=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
因为$CD = AB$，所以$CD = 8$。
综上，（1）已证$\triangle ADE\cong\triangle FCE$；（2）$CD$的长为$8$。