《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

4. 如图5，在$ \square ABCD $中，用直尺和圆规作$ \angle BAD $的平分线AG，若$ AD = 5 $，$ DE = 6 $，则AG的长是____。

答案： $8$

5. 如图6，在$ \square ABCD $中，对角线AC，BD相交于点O，若$ DO = 1.5 \mathrm { cm } $，$ AB = 5 \mathrm { cm } $，$ BC = 4 \mathrm { cm } $，则$ \square ABCD $的面积为____。

答案： $12cm^{2}$

1. 如图7，四边形ABCD，AEFD都是平行四边形。试说明四边形BCFE也是平行四边形。

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC$。
因为四边形$AEFD$是平行四边形，所以$AD// EF$，$AD = EF$。
所以$BC// EF$，$BC = EF$。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$BCFE$是平行四边形。

2. 如图8，在$ \square ABCD $中，$ AE \perp BD $于点E，$ CF \perp BD $于点F，四边形AECF是平行四边形吗？试说明理由。

答案： 解：四边形$AECF$是平行四边形。
理由如下：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，所以$\angle ABE=\angle CDF$。
又因为$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AEB = \angle CFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle CFD\\\angle ABE=\angle CDF\\AB = CD\end{cases}$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CDF(AAS)$，所以$AE = CF$。
因为$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$AE// CF$。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因为$AE = CF$且$AE// CF$，所以四边形$AECF$是平行四边形。