《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

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如图13，在等腰直角三角形ABC中，$∠ACB=90^{\circ }$，$AC=BC=4$，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且$AE=CF$，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使$GO=OD$，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$EDFG$是正方形
**步骤一：连接$CD$，证明$\triangle ADE\cong\triangle CDF$**
已知$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 4$，$D$是$AB$中点。
根据等腰直角三角形性质，$AD = CD$，$\angle A=\angle DCF = 45^{\circ}$，又因为$AE = CF$。
由$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。
所以$DE = DF$，$\angle ADE=\angle CDF$。
**步骤二：证明$\angle EDF = 90^{\circ}$**
因为$\angle ADE+\angle EDC = 90^{\circ}$，所以$\angle CDF+\angle EDC=\angle EDF = 90^{\circ}$。
**步骤三：证明四边形$EDFG$是平行四边形**
已知$O$是$EF$中点，$GO = OD$，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形$EDFG$是平行四边形。
**步骤四：证明四边形$EDFG$是正方形**
又因为$DE = DF$，$\angle EDF = 90^{\circ}$，一组邻边相等的矩形是正方形，所以平行四边形$EDFG$是正方形。
### $(2)$ 求四边形$EDFG$面积最小时点$E$的位置及面积最小值
**步骤一：分析四边形$EDFG$面积与$DE$的关系**
因为四边形$EDFG$是正方形，所以$S_{四边形EDFG}=DE^{2}$。
**步骤二：求$DE$的最小值**
当$DE\perp AC$时，$DE$最小。
因为$D$是$AB$中点，$DE\perp AC$，$BC\perp AC$，根据中位线定理，$DE=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC = 4$，所以$DE = 2$。
**步骤三：计算四边形$EDFG$面积的最小值**
此时$S_{四边形EDFG}=DE^{2}=2^{2}=4$，即当$E$为$AC$中点时，四边形$EDFG$面积最小。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$ 当$E$为$AC$中点时，四边形$EDFG$面积最小，最小值为$\boldsymbol{4}$。