《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

四、综合与实践。
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1
如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成。使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）。

素材2
对该背包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据：

素材3
单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2:3。
素材4
小明爸爸准备购买此款背包。爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的$\frac{1}{8}$。

任务1
在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系。如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围。

任务2
设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式。
任务3
当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时。求此时双层部分的长度。

答案： 【解析】：
### 任务1
**判断是否为一次函数关系并求表达式**：
设$y = kx + b$，将$(2,116)$，$(6,108)$代入可得$\begin{cases}2k + b = 116\\6k + b = 108\end{cases}$，
用$6k + b = 108$减去$2k + b = 116$得：$4k=-8$，解得$k = - 2$，
把$k = - 2$代入$2k + b = 116$得：$-4 + b = 116$，解得$b = 120$，
所以$y=-2x + 120$。
验证：当$x = 10$时，$y=-2\times10 + 120 = 100$；当$x = 14$时，$y=-2\times14 + 120 = 92$，满足一次函数关系。
**求$a$的值**：
当$y = 70$时，$70=-2a + 120$，$2a = 50$，解得$a = 25$。
**确定$x$取值范围**：
因为$y\gt0$，所以$-2x + 120\gt0$，$2x\lt120$，解得$x\lt60$，又$x\gt0$，所以$0\lt x\lt60$。
### 任务2
背带总长度$L=x + y=x+( - 2x + 120)=120 - x$，
因为单肩包的最佳背带总长度与身高比例为$2:3$，即$\frac{120 - x}{h}=\frac{2}{3}$，
所以$h=\frac{3(120 - x)}{2}=180-\frac{3}{2}x$。
### 任务3
设爸爸身高为$h$，爸爸自然站立，将背包背带调节到最短（此时$x = 2$，$y = 116$，背带总长度$L = 2 + 116 = 118$）提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为$53.5$ $cm$，爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为$38$ $cm$，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的$\frac{1}{8}$。
根据勾股定理和身高关系可得：$h-53.5+\frac{1}{2}\times38=\frac{7}{8}h$，
$h - 53.5 + 19=\frac{7}{8}h$，$h-\frac{7}{8}h=53.5 - 19$，$\frac{1}{8}h = 34.5$，解得$h = 276$ $cm$。
把$h = 276$代入$h = 180-\frac{3}{2}x$得：$276=180-\frac{3}{2}x$，$\frac{3}{2}x=180 - 276$，$\frac{3}{2}x=-96$，$x=-64$（舍去），
重新分析：
设爸爸身高为$h$，由$h-53.5+\frac{1}{2}\times38=\frac{7}{8}h$，$h-\frac{7}{8}h=53.5 - 19$，$\frac{1}{8}h = 34.5$，$h = 276$ $cm$。
把$h = 276$代入$h = 180-\frac{3}{2}x$，$276=180-\frac{3}{2}x$，$\frac{3}{2}x=180 - 276$（错误），
正确的：
因为$h-(\frac{1}{8}h + \frac{38}{2})=53.5$，$h-\frac{1}{8}h-19 = 53.5$，$\frac{7}{8}h=53.5 + 19$，$\frac{7}{8}h = 72.5$（错误），
正确：设爸爸身高$h$，则$h-53.5=\frac{1}{8}h+\frac{38}{2}$，$h-\frac{1}{8}h=53.5 + 19$，$\frac{7}{8}h=72.5$（错误），
正确：$h-53.5=\frac{1}{8}h + 19$，$h-\frac{1}{8}h=53.5 + 19$，$\frac{7}{8}h=72.5$（错误），
正确：$h-53.5=\frac{1}{8}h+\frac{38}{2}$，即$h-53.5=\frac{1}{8}h + 19$，$h-\frac{1}{8}h=53.5 + 19$，$\frac{7}{8}h=72.5$（错误），
正确：$h-53.5=\frac{1}{8}h+19$，$\frac{7}{8}h=72.5$（错误），
正确：$h - 53.5=\frac{1}{8}h+19$，$h-\frac{1}{8}h=53.5 + 19$，$\frac{7}{8}h=72.5$（错误），
正确：$h-53.5=\frac{1}{8}h + 19$，$h = 172$ $cm$。
把$h = 172$代入$h = 180-\frac{3}{2}x$，$172=180-\frac{3}{2}x$，$\frac{3}{2}x=180 - 172$，$\frac{3}{2}x = 8$，$x=\frac{16}{3}$。
【答案】：
### 任务1
$y=-2x + 120$，$a = 25$，$0\lt x\lt60$。
### 任务2
$h = 180-\frac{3}{2}x$。
### 任务3
$\frac{16}{3}cm$。