《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

试一试，你一定很棒
如图15，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF。
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

答案： 1. （1）
证明：
因为$AF// BC$，所以$\angle AFE=\angle DCE$。
又因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DEC$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AFE=\angle DCE\\\angle AEF=\angle DEC\\AE = DE\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle AEF\cong\triangle DEC$。
所以$AF = DC$。
已知$AF = BD$，所以$BD = DC$，即$D$是$BC$的中点。
2. （2）
证明：
因为$AF// BD$，$AF = BD$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$AFBD$是平行四边形。
又因为$AB = AC$，$D$是$BC$的中点（已证），根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD\perp BC$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AFBD$是矩形。