《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

1. 如图11，在矩形ABCD中，E在AB边上，F在BC边上，且BE=CF，EF⊥DF。求证：BF=CD。

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$。
因为$EF\perp DF$，所以$\angle EFD = 90^{\circ}$，则$\angle EFB+\angle DFC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle EFB+\angle BEF = 90^{\circ}$，所以$\angle BEF=\angle DFC$。
在$\triangle BEF$和$\triangle CFD$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle C\\\angle BEF=\angle DFC\\BE = CF\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BEF\cong\triangle CFD$。
所以$BF = CD$（全等三角形的对应边相等）。

2. 如图12，在矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，BE=DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点。
（1）求证：CP=AQ；
（2）若BP=1，PQ=2$\sqrt{2}$，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle A=\angle ABC = \angle C=\angle ADC = 90^{\circ}$，$AB = CD$，$AD = BC$，$AB// CD$，$AD// BC$。
又因为$BE = DF$，所以$AB + BE=CD + DF$，即$AE = CF$。
因为$AB// CD$，所以$\angle E=\angle F$。
在$\triangle CFP$和$\triangle AEQ$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle C=\angle A\\CF = AE\\\angle F=\angle E\end{array}\right.$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle CFP\cong\triangle AEQ$。
所以$CP = AQ$。
2. （2）解：
因为$AD// BC$，所以$\angle PBE=\angle A = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AEF = 45^{\circ}$，所以$\triangle BEP$是等腰直角三角形，则$BE = BP = 1$。
过点$Q$作$QH\perp BC$于点$H$。
因为$AD// BC$，$QH\perp BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以四边形$ABHQ$是矩形，则$QH = AB$，$AQ = BH$。
因为$\angle AEF = 45^{\circ}$，$\angle QHP = 90^{\circ}$，所以$\triangle QHP$是等腰直角三角形。
已知$PQ = 2\sqrt{2}$，根据等腰直角三角形三边关系$a:a:\sqrt{2}a$（设直角边为$a$），可得$QH = PH=\frac{\sqrt{2}}{2}PQ=\frac{\sqrt{2}}{2}\times2\sqrt{2}=2$。
因为$CP = AQ$，$AQ = BH$，所以$BC=BH + HP+CP=2 + 2+1=5$，$AB = QH = 2$。
根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，可得$S_{矩形ABCD}=2\times5 = 10$。