《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

3. 如图10，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF//BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC. 求证：四边形ADCF是菱形.

答案： 【解析】：
- 证明$\triangle AEF\cong\triangle CED$：
因为$AF// BC$，所以$\angle AFE = \angle CDE$。
又因为$E$是$AC$中点，所以$AE = CE$。
且$\angle AEF=\angle CED$（对顶角相等）。
根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle AEF\cong\triangle CED$。
所以$AF = CD$。
又因为$AF// CD$，所以四边形$ADCF$是平行四边形。
证明$AB = AE$：
已知$AC = 2AB$，$E$是$AC$中点，所以$AE=\frac{1}{2}AC$，则$AB = AE$。
证明$\triangle ABD\cong\triangle AED$：
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle EAD$。
又$AD = AD$（公共边）。
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle AED$。
所以$\angle AED=\angle B = 90^{\circ}$，即$DF\perp AC$。
综上，因为四边形$ADCF$是平行四边形，且$DF\perp AC$，所以四边形$ADCF$是菱形。
【答案】：四边形$ADCF$是菱形。