《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

2. 如图11,在平行四边形$ABCD$中,$E$是$BC$边的中点,连接$DE$并延长交$AB$的延长线于点$F$,求证:$AB=BF$.

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle C = \angle EBF$，$\angle CDE=\angle F$。
- 又因为$E$是$BC$边的中点，所以$CE = BE$。
- 在$\triangle CDE$和$\triangle BFE$中，$\begin{cases}\angle CDE=\angle F\\\angle C = \angle EBF\\CE = BE\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle CDE\cong\triangle BFE$。
- 由全等三角形的对应边相等，可得$CD = BF$。
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$。
- 所以$AB = BF$。
【答案】：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD$，$\therefore\angle C = \angle EBF$，$\angle CDE=\angle F$。
$\because E$是$BC$边的中点，$\therefore CE = BE$。
在$\triangle CDE$和$\triangle BFE$中，$\begin{cases}\angle CDE=\angle F\\\angle C = \angle EBF\\CE = BE\end{cases}$，$\therefore\triangle CDE\cong\triangle BFE(AAS)$，$\therefore CD = BF$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB = CD$，$\therefore AB = BF$。

3. 如图12,在ABCD中,$E$是$BC$的中点,连接$AE$并延长交$DC$的延长线于点$F$.
(1)求证:$AB=CF$;
(2)连接$DE$,若$AD=2AB$,求证:$DE⊥AF$.

答案：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DF$，则$\angle B=\angle ECF$。
又因为$E$是$BC$中点，所以$BE = CE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FCE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle ECF\\ BE = CE\\ \angle AEB=\angle FEC\end{array}\right.$（对顶角相等），根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle FCE$，所以$AB = CF$。
(2) 由
(1)知$AB = CF$，因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，又$AD = 2AB$，所以$AD = DF$。
因为$\triangle ABE\cong\triangle FCE$，所以$AE = EF$，根据等腰三角形三线合一的性质，在$\triangle ADF$中，$AD = DF$，$AE = EF$，所以$DE\perp AF$。