《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

3. A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分；B玉米试验田是边长为$(a-1)$米的正方形。两块试验田都收获了500千克玉米。
(1)哪块玉米试验田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

答案： 【解析】：
1. 首先，分别计算$A$、$B$两块试验田的面积：
对于$A$玉米试验田：
已知$A$玉米试验田是边长为$a$米的正方形减去边长为$1$米的正方形蓄水池后余下的部分，根据正方形面积公式$S = 边长\times边长$，则$A$试验田的面积$S_{A}=a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$平方米（利用平方差公式$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，这里$x = a$，$y = 1$）。
对于$B$玉米试验田：
$B$玉米试验田是边长为$(a - 1)$米的正方形，则$B$试验田的面积$S_{B}=(a - 1)^{2}$平方米。
然后比较$S_{A}$与$S_{B}$的大小：
计算$S_{A}-S_{B}=(a + 1)(a - 1)-(a - 1)^{2}$，展开式子得$S_{A}-S_{B}=a^{2}-1-(a^{2}-2a + 1)$。
去括号：$S_{A}-S_{B}=a^{2}-1 - a^{2}+2a - 1=2a-2 = 2(a - 1)$。
因为$a\gt1$（边长不能为负且$a-1\gt0$才有实际意义），所以$2(a - 1)\gt0$，即$S_{A}\gt S_{B}$。
2. 接着，根据单位面积产量$=\frac{总产量}{面积}$，计算两块试验田的单位面积产量：
$A$试验田的单位面积产量$m_{A}=\frac{500}{a^{2}-1}$千克/平方米。
$B$试验田的单位面积产量$m_{B}=\frac{500}{(a - 1)^{2}}$千克/平方米。
比较$m_{A}$与$m_{B}$的大小：
因为分子相同，分母越大，分数越小，且$a^{2}-1\gt(a - 1)^{2}$（$a\gt1$），所以$m_{A}\lt m_{B}$，即$B$玉米试验田的单位面积产量高。
3. 最后，计算高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍数：
求$\frac{m_{B}}{m_{A}}$的值，$\frac{m_{B}}{m_{A}}=\frac{\frac{500}{(a - 1)^{2}}}{\frac{500}{a^{2}-1}}$。
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，$\frac{m_{B}}{m_{A}}=\frac{500}{(a - 1)^{2}}\times\frac{a^{2}-1}{500}$。
因为$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$，所以$\frac{m_{B}}{m_{A}}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)^{2}}=\frac{a + 1}{a - 1}$。
【答案】：
(1)$B$玉米试验田的单位面积产量高；
(2)$\frac{a + 1}{a - 1}$