《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

鞋钉中的数学
细心的同学可能会发现鞋匠用的铁钉的形状很特别，普通铁钉的截面是圆形的，而鞋匠用的铁钉的截面是正三角形或正方形的。你想过其中的奥妙吗？下面我们用数学知识解开这个谜。
如图1所示，已知正方形ABCD、正三角形A'B'C'和圆O的面积都为1，试比较它们周长的大小。

答案： 【解】设正方形的边长为x，正三角形的边长为y，圆的半径为r。则：
1. 由正方形面积$S_{1}=x^{2}=1$，得$x=1$。则其周长为4。
2. 由正三角形的性质可知，$S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}y^{2}=1$，得$y\approx1.52$。则其周长约为4.56。
3. 由圆面积$S_{3}=\pi r^{2}=1$，得$r=\sqrt{\frac{1}{\pi}}$。则其周长约为3.54。
由物理知识可知，鞋钉与鞋底的接触面积越大，阻力就越大，钉子越不易脱落。可见，要想鞋钉钉得牢固些，就应该尽量增大钉子与鞋底之间的接触面积。当钉子钉在物体里的时候，它的截面的周长越大，说明它与物体的接触面就越大，钉子也会越牢固。由上可知，相同面积的三种几何图形，正三角形、正方形的周长均比圆的周长大，因而用正三角形和正方形做鞋钉要比用圆形好。