《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

1. 某市规定了每月用水$18m^{3}$以内(含$18m^{3}$)和用水$18m^{3}$以上两种不同的收费标准。该市的用户每月应交水费$y$(元)与用水量$x(m^{3})$的函数关系如图2所示。

(1)若某月用水量为$18m^{3}$，则应交水费多少元？
(2)求当$x ＞ 18$时，$y$关于$x$的函数表达式；
(3)若小敏家某月交水费81元，则这个月的用水量为多少立方米？

答案： 【解析】：
(1) 由图可知，当用水量为$18m^{3}$时，应交水费$45$元。
(2) 设当$x\gt18$时，$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
将$(18,45)$，$(28,75)$代入$y = kx + b$得：
$\begin{cases}18k + b = 45\\28k + b = 75\end{cases}$
用$28k + b = 75$减去$18k + b = 45$可得：
$\begin{aligned}28k + b-(18k + b)&=75 - 45\\28k + b - 18k - b&=30\\10k&=30\\k&=3\end{aligned}$
把$k = 3$代入$18k + b = 45$得：$18×3 + b = 45$，$54 + b = 45$，$b = 45 - 54=-9$。
所以当$x\gt18$时，$y$关于$x$的函数表达式是$y = 3x - 9$。
(3) 因为$81\gt45$，所以把$y = 81$代入$y = 3x - 9$得：
$81 = 3x - 9$
$3x = 81 + 9$
$3x = 90$
$x = 30$
【答案】：
(1)$45$
(2)$y = 3x - 9(x\gt18)$
(3)$30$

2. 一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(1,3)$和点$(4,6)$。
(1)求这个一次函数的关系式，并画出图象；
(2)根据图象，指出$x$取什么值时，函数值$y$始终大于0；
(3)求此函数与坐标轴围成的三角形的面积。

答案： 【解析】：
(1) 已知一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(1,3)$和点$(4,6)$，将这两点代入函数可得方程组$\begin{cases}k + b = 3\\4k + b = 6\end{cases}$。
用第二个方程$4k + b = 6$减去第一个方程$k + b = 3$，可得：
$(4k + b)-(k + b)=6 - 3$
$4k + b - k - b = 3$
$3k = 3$
解得$k = 1$。
把$k = 1$代入$k + b = 3$，得$1 + b = 3$，解得$b = 2$。
所以这个一次函数的关系式为$y = x + 2$。
取两个点来画图象，当$x = 0$时，$y = 0 + 2 = 2$，得到点$(0,2)$；当$y = 0$时，$0 = x + 2$，解得$x = - 2$，得到点$(-2,0)$。在平面直角坐标系中描出点$(-2,0)$和$(0,2)$，然后过这两点画直线，就得到$y = x + 2$的图象。
(2) 要求$y\gt0$时$x$的取值范围，即$x + 2\gt0$，解不等式$x + 2\gt0$，移项可得$x\gt - 2$。从图象上看，就是直线$y = x + 2$在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围。
(3) 由
(1)可知函数$y = x + 2$与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,2)$。
所以此函数与坐标轴围成的三角形，以与$x$轴交点到原点的距离$\vert - 2\vert = 2$为底，以与$y$轴交点到原点的距离$2$为高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得该三角形面积$S=\frac{1}{2}\times2\times2 = 2$。
【答案】：
(1) $y = x + 2$；
(2) $x\gt - 2$；
(3) $2$。