《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

3. 如图12，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将$△ADE$沿AE对折至$△AFE$，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：$△ABG\cong △AFG$；
(2)求BG的长.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$\triangle ABG\cong\triangle AFG$
- 已知四边形$ABCD$是正方形，则$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，$AD = AB$。
- 由折叠可知：$AD = AF$，$\angle AFE=\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle AFG = 90^{\circ}$，$AB = AF$。
- 又因为$AG = AG$，在$Rt\triangle ABG$和$Rt\triangle AFG$中，$\left\{\begin{array}{l}AG = AG\\AB = AF\end{array}\right.$。
- 根据直角三角形全等判定定理$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得$\triangle ABG\cong\triangle AFG$。
### $(2)$ 求$BG$的长
- 设$BG = x$，因为$\triangle ABG\cong\triangle AFG$，所以$FG = BG = x$。
- 已知$E$是$CD$中点，$CD = 6$，则$DE = CE=EF = 3$，那么$EG=EF + FG=x + 3$，$GC=6 - x$。
- 在$Rt\triangle ECG$中，根据勾股定理$EC^{2}+GC^{2}=EG^{2}$，即$3^{2}+(6 - x)^{2}=(x + 3)^{2}$。
- 展开式子得：$9+36-12x+x^{2}=x^{2}+6x + 9$。
- 移项可得：$x^{2}-x^{2}-12x - 6x=9 - 9 - 36$。
- 合并同类项得：$-18x=-36$。
- 解得$x = 2$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{2}$