《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

四、已知函数$y=\sqrt {x-6}+\frac {3x}{6-x}$。
(1)确定自变量x的取值范围；
(2)求当$x=7$时y的函数值。

答案： 【解析】：
1. 对于函数$y = \sqrt{x - 6}+\frac{3x}{6 - x}$，确定自变量$x$的取值范围：
考虑二次根式有意义的条件：
在二次根式$\sqrt{a}$中，被开方数$a\geqslant0$。对于$\sqrt{x - 6}$，则有$x−6\geqslant0$，解得$x\geqslant6$。
考虑分式有意义的条件：
在分式$\frac{b}{c}$中，分母$c\neq0$。对于$\frac{3x}{6 - x}$，则有$6 - x\neq0$，即$x\neq6$。
综合二次根式和分式有意义的条件：
要使函数$y=\sqrt{x - 6}+\frac{3x}{6 - x}$有意义，$x$需同时满足$x\geqslant6$且$x\neq6$，所以自变量$x$的取值范围是$x\gt6$。
2. 求当$x = 7$时$y$的函数值：
把$x = 7$代入函数$y=\sqrt{x - 6}+\frac{3x}{6 - x}$中，得到$y=\sqrt{7 - 6}+\frac{3\times7}{6 - 7}$。
先计算根号内的值：$\sqrt{7 - 6}=\sqrt{1}=1$。
再计算分式的值：$\frac{3\times7}{6 - 7}=\frac{21}{-1}=-21$。
最后计算$y$的值：$y = 1+( - 21)=1 - 21=-20$。
【答案】：
(1)$x\gt6$；
(2)$-20$