《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

1. 如图12，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB=∠C，连接BE.
(1)求证：BC//AE；
(2)求证：四边形AEBD是矩形；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形？并说明理由.

答案： 【解析】：
(1)
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C$。
又因为$\angle EAB=\angle C$，所以$\angle ABC=\angle EAB$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$BC// AE$。
(2)
因为$O$为$AB$的中点，所以$AO = BO$。
在$\triangle AOE$和$\triangle BOD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EAO=\angle DBO\\ AO = BO\\ \angle AOE=\angle BOD\end{array}\right.$，
所以$\triangle AOE\cong\triangle BOD(ASA)$，则$OD = OE$。
因为$AO = BO$，所以四边形$AEBD$是平行四边形。
因为$AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，根据等腰三角形三线合一，可得$AD\perp BC$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AEBD$是矩形。
(3)
当$\triangle ABC$是等腰直角三角形，即$\angle BAC = 90^{\circ}$时。
因为$AB = AC$，$AD$是角平分线，所以$AD = BD = CD$（等腰直角三角形三线合一且斜边上的中线等于斜边的一半）。
又因为四边形$AEBD$是矩形，一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$AEBD$是正方形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析；
(3) 当$\triangle ABC$是等腰直角三角形（$\angle BAC = 90^{\circ}$）时，理由见上述解析。