《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

1. A地在河的上游，B地在河的下游。若船从A地开往B地的速度为$v_{1}$，从B地返回A地的速度为$v_{2}$，求船在A、B两地间往返一趟的平均速度。

答案： 【解析】：设A、B两地之间的距离为$s$。
从A地到B地所用时间$t_{1}=\frac{s}{v_{1}}$；从B地返回A地所用时间$t_{2}=\frac{s}{v_{2}}$。
往返的总路程为$2s$，总时间$t = t_{1}+t_{2}=\frac{s}{v_{1}}+\frac{s}{v_{2}}=s(\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}})=s\frac{v_{1} + v_{2}}{v_{1}v_{2}}$。
根据平均速度的定义$v=\frac{总路程}{总时间}$，则往返一趟的平均速度$v=\frac{2s}{t}=\frac{2s}{s\frac{v_{1}+v_{2}}{v_{1}v_{2}}}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$。
【答案】：$\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$

2. 已知关于x的方程$2ax=(a+3)x+12$的解是正整数，求正整数a的值。

答案： 【解析】：
首先对给定方程进行求解：
已知方程$2ax=(a + 3)x+12$，
移项可得：$2ax-(a + 3)x = 12$，
去括号得：$2ax-ax-3x = 12$，
合并同类项得：$(2a - a - 3)x = 12$，即$(a - 3)x = 12$。
当$a-3\neq0$，即$a\neq3$时，$x=\frac{12}{a - 3}$。
因为方程的解$x$是正整数，所以$a - 3$是$12$的正因数。
$12$的正因数有$1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$12$。
当$a - 3 = 1$时，$a=4$，此时$x=\frac{12}{1}=12$；
当$a - 3 = 2$时，$a = 5$，此时$x=\frac{12}{2}=6$；
当$a - 3 = 3$时，$a = 6$，此时$x=\frac{12}{3}=4$；
当$a - 3 = 4$时，$a = 7$，此时$x=\frac{12}{4}=3$；
当$a - 3 = 6$时，$a = 9$，此时$x=\frac{12}{6}=2$；
当$a - 3 = 12$时，$a = 15$，此时$x=\frac{12}{12}=1$。
又因为$a$是正整数，所以满足条件的正整数$a$的值为$4$、$5$、$6$、$7$、$9$、$15$。
【答案】：$4$、$5$、$6$、$7$、$9$、$15$