《2025年暑假乐园海南出版社八年级数学华师大版》

2. 如图6,$BD$是ABCD的对角线,$E,F$在$BD$边上,要使四边形$AECF$是平行四边形,还需要增加的一个条件是__________.(填上你认为正确的一个即可)

答案： $BE = DF$（答案不唯一）

3. 如图7,在ABCD中,$AB=5,AD=3,AE$平分$∠DAB$交$BC$的延长线于点$F$,则$CF=$__________.

答案： $2$

4. 如图8,把ABCD折叠,使点$C$与点$A$重合,这时点$D$落在点$D_{1}$处,折痕为$EF$,若$∠BAE=55^{\circ}$,则$∠D_{1}AD=$__________.

答案： $55^{\circ}$

5. 如图9,在ABCD中,$P$是$CD$边上一点,且$AP$和$BP$分别平分$∠DAB$和$∠CBA$,若$AD=5,AP=8$,则$\triangle APB$的周长是__________.

答案： $24$

1. 如图10,$E,F$是ABCD对角线$AC$上的两点,$BE// DF$. 求证:$BE=DF$.

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，所以$AB = CD$，$AB// CD$。
- 由$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BAE=\angle DCF$。
- 又因为$BE// DF$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle BEF=\angle DFE$。
- 再根据等角的补角相等，由$\angle BEF+\angle AEB = 180^{\circ}$，$\angle DFE+\angle DFC = 180^{\circ}$，可得$\angle AEB=\angle DFC$。
- 在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle DFC\\\angle BAE=\angle DCF\\AB = CD\end{cases}$。
- 根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
- 因为全等三角形的对应边相等，所以$BE = DF$。
【答案】：
$\triangle ABE\cong\triangle CDF(AAS)$，所以$BE = DF$ 。