《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

22. 化简下列各题。
(1)$\sqrt{48}-\sqrt{54}÷2+(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})$ (2)$\frac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\frac{x}{4}}-2x\sqrt{\frac{1}{x}}$

答案： 【解析】：
(1) 首先化简各部分：
$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{54} ÷ 2 = \frac{3\sqrt{6}}{2}$
$(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}}) = 3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 = 2$
将化简后的各部分代入原式得：
$4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + 2$
(2) 对于第二部分，我们同样化简各项：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x} = 2\sqrt{x}$
$6\sqrt{\frac{x}{4}} = 3\sqrt{x}$
$2x\sqrt{\frac{1}{x}} = 2\sqrt{x}$
代入原式得：
$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x}$
【答案】：
(1) $4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + 2$
(2) $3\sqrt{x}$

23. 计算:$\sqrt{81a^{3}}-5a\sqrt{a}+\frac{3}{a}\sqrt{4a^{5}}$。

答案： 【解析】：
首先，我们将原式中的各项进行化简。
对于第一项 $\sqrt{81a^{3}}$，我们可以将其拆分为 $\sqrt{81} × \sqrt{a^{2}} × \sqrt{a} = 9a\sqrt{a}$。
对于第二项 $5a\sqrt{a}$，它已经是最简形式，无需进一步化简。
对于第三项 $\frac{3}{a}\sqrt{4a^{5}}$，我们可以将其拆分为 $\frac{3}{a} × \sqrt{4} × \sqrt{a^{4}} × \sqrt{a} = \frac{3}{a} × 2a^{2}\sqrt{a} = 6a\sqrt{a}$。
接下来，我们将化简后的各项进行合并：
$9a\sqrt{a} - 5a\sqrt{a} + 6a\sqrt{a} = (9 - 5 +6)a\sqrt{a} = 10a\sqrt{a}$
【答案】：$10a\sqrt{a}$

24. 化简求值。
(1)已知$x= \frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})$,$y= \frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$,求$x^{2}-xy+y^{2}$的值。
(2)当$a= 4+\sqrt{15}$,$b= 4-\sqrt{15}$时,求$a^{2}+5ab+b^{2}-3a-3b$的值。

答案： 【解析】：
(1) 首先，我们计算$x+y$和$xy$的值：
$x+y = \frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}) + \frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \sqrt{7}$
$xy = \frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}) × \frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \frac{1}{4}(7-5) = \frac{1}{2}$
接着，利用完全平方公式，我们有：
$x^{2}-xy+y^{2} = (x+y)^{2} - 3xy$
代入$x+y$和$xy$的值，得到：
$x^{2}-xy+y^{2} = \sqrt{7}^{2} - 3 × \frac{1}{2} = 7 - \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$
(2) 首先，我们计算$a+b$和$ab$的值：
$a+b = (4+\sqrt{15}) + (4-\sqrt{15}) = 8$
$ab = (4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15}) = 16 - 15 = 1$
接着，我们将原式进行变形：
$a^{2}+5ab+b^{2}-3a-3b = (a+b)^{2} + 3ab - 3(a+b)$
代入$a+b$和$ab$的值，得到：
$a^{2}+5ab+b^{2}-3a-3b = 8^{2} + 3 × 1 - 3 × 8 = 64 + 3 - 24 = 43$
【答案】：
(1) $\frac{11}{2}$
(2) $43$